Quadriláteros

por jjbr4603 Sáb 05 Mar 2022, 10:27

Relembrando a primeira mensagem :

Dentre todos os paralelogramos ABCD com AB=AC=7, o de área máxima tem área igual a

A) 49 B) 49[latex]\sqrt{2}[/latex] C) [latex]\frac{49\sqrt{3}}{2}[/latex] D)[latex]\frac{49}{2}[/latex] E) NDA

Gabarito letra A

Alguém sabe como faz essa?

por **Giovana Martins** Sáb 05 Mar 2022, 22:52

Isso. Desse jeito que o Élcio fez eu concordo. Partiu-se de um paralelogramo qualquer e concluiu que o paralelogramo de maior área ocorre quando o mesmo é um quadrado.

Ao meu ver é natural pensar na resolução apresentada pelo colega Tales justamente pelo artifício que surge em relação à função seno que aparece na fórmula, entretanto, ao ver esta resolução, a única coisa que fica garantido para mim é que de todos os triângulos isósceles, o de maior área é aquele cuja área é da forma A=x²/2 e multiplicando por 2 coincidentemente chegaremos numa expressão que nos fornecerá o gabarito.

Além disso, a partir do enunciado, a gente consegue construir um quadrilátero irregular com as mesmas características indicadas no enunciado e neste caso não me parece ser possível "atacar" o problema a partir da relação A=[absin(x)]/2:

por **Rory Gilmore** Sáb 05 Mar 2022, 23:47

Giovana Martins, eu não compreendi o motivo de você mencionar um quadrilátero qualquer se é afirmado pelo enunciado que é um paralelogramo.

O mestre utilizou um paralelogramo ABDC e isso é incorreto, pois o enunciado fala em paralelogramo ABCD.

O Tales partiu de um paralelogramo qualquer e só utilizou os dados que estão no enunciado.
Lado AB = 7;
Diagonal AC = 7.

Área S do paralelogramo:
S = 2.[7.7.sen (x)]/2 = 49.sen (x)

Que é máxima para sen (x) = 1, isto é:
S = 49 é a área máxima.

por **Medeiros** Seg 07 Mar 2022, 18:17

gostei muito da resolução do colega Tales.
E o paralelogramo que ele calculou não é um quadrado, é este:

por **Giovana Martins** Dom 13 Mar 2022, 10:58

Muito obrigada a todos!

Porém, eu ainda não vejo onde eu errei.

por **tales amaral** Dom 13 Mar 2022, 13:24

Giovana Martins escreveu:
Muito obrigada a todos!

Porém, eu ainda não vejo onde eu errei.

Eu acho que a sua primeira resolução lá não serve pelo fato de não existir quadrado de lado e diagonal iguais a 7 (a diagonal seria 7 raiz de 2).

por **Giovana Martins** Dom 13 Mar 2022, 13:52

Obrigada, Tales.

Mas aí que está, a minha resolução não condiciona uma diagonal de comprimento 7. Eu nem cheguei a calcular a diagonal do paralelogramo na minha resolução. Os valores que eu encontrei são exatamente os lados x e y do paralelogramo, que resultou ser um quadrado.

por aitchrpi Dom 13 Mar 2022, 14:27

Giovana Martins escreveu:
Obrigada, Tales.

Mas aí que está, a minha resolução não condiciona uma diagonal de comprimento 7. Eu nem cheguei a calcular a diagonal do paralelogramo na minha resolução. Os valores que eu encontrei são exatamente os lados x e y do paralelogramo, que resultou ser um quadrado.

Mas a questão afirma que a diagonal do paralelogramo é igual 7. Além disso, entre todos os paralelogramos de mesmo perímetro, o que tem a maior área é o quadrado. Mas essa restrição não é dada pelo enunciado, e, portanto, o perímetro não é necessariamente constante. Aliás, ele depende do ângulo x que o Tales desenhou.

E na sua resolução inicial, você considerou que A(x, y) = xy, o que não é verdade para todos os paralelogramos (só é verdade para o quadrado).

por **Giovana Martins** Dom 13 Mar 2022, 14:35

aitchrpi escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Obrigada, Tales.

Mas aí que está, a minha resolução não condiciona uma diagonal de comprimento 7. Eu nem cheguei a calcular a diagonal do paralelogramo na minha resolução. Os valores que eu encontrei são exatamente os lados x e y do paralelogramo, que resultou ser um quadrado.

Mas a questão afirma que a diagonal do paralelogramo é igual 7. Além disso, entre todos os paralelogramos de mesmo perímetro, o que tem a maior área é o quadrado. Mas essa restrição não é dada pelo enunciado, e, portanto, o perímetro não é necessariamente constante. Aliás, ele depende do ângulo x que o Tales desenhou.

E na sua resolução inicial, você considerou que A(x, y) = xy, o que não é verdade para todos os paralelogramos (só é verdade para o quadrado).

Excelente!!!!

Além disso, entre todos os paralelogramos de mesmo perímetro, o que tem a maior área é o quadrado.

Eu sabia que havia uma propriedade assim das minhas aulas de Cálculo I, mas não lembrava dessas restrições, por isso eu não estava concordando com a resolução de vocês. Como eu tinha chegado em um quadrado ao longo do meu desenvolvimento, para mim eu estava correta.

Muito obrigada, aitchrpi e demais membros que participaram dessa discussão!