FGV - 2014: Trapézios

A figura representa um trapézio isósceles ABCD, com AD = BC = 4cm. M é o ponto médio de AD e o ângulo BMC é reto.

Fala, Bruna.
Antes, deixe-me demonstrar algumas propriedades que usaremos para resolver esse problema:
1)Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa.

No triângulo ABC, tome P na reta BM de forma que BM=MP (M é ponto médio de AC).
Pelo caso LAL, o triângulo BMA é congruente ao triângulo PMC. Logo o ângulo ∠McP = ∠MaB e então AB é paralelo a PC, o que nos dá ∠BCP = 90 graus. Além disso, AB = CP e BC é um lado em comum o qual nos dá ∆ABC e ∆PCB congruentes. Logo, AC = BP e então 2BM = AC -> BM = AC/2.

2) Em um trapézio ABCD, de bases AB e CD, sejam M o ponto médio de AB e P o ponto médio de CD. Então a base média é paralela às bases do trapézio e seu comprimento é igual à semissoma das bases. MP = (AB+CD)/2.

No triângulo, ACD, ligue M (ponto médio do lado AD) ao ponto O (ponto médio do lado AC) como os triângulos ADC e AMO possuem 2 lados em proporção de 1:2 e o mesmo ângulo ADC, então a proporção entre as bases também é de 1:2. Analogamente prova-se isso para o triângulo ACB o que conclui nossa demonstração.

Agora, voltando à questão:

Liga M ao ponto N (ponto médio de CB), MN é mediana relativa à hipotenusa, então MN = 2 e, além disso, MN é base média = AB + CD/2 -> AB + CD = 4
Portanto, o perímetro do trapézio = 4 + 4 + 4 = 12.

João Pedro Lima escreveu:Fala, Bruna.
Antes, deixe-me demonstrar algumas propriedades que usaremos para resolver esse problema:
1)Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa.

No triângulo ABC, tome P na reta BM de forma que BM=MP (M é ponto médio de AC).
Pelo caso LAL, o triângulo BMA é congruente ao triângulo PMC. Logo o ângulo ∠McP = ∠MaB e então AB é paralelo a PC, o que nos dá ∠BCP = 90 graus. Além disso, AB = CP e BC é um lado em comum o qual nos dá ∆ABC e ∆PCB congruentes. Logo, AC = BP e então 2BM = AC -> BM = AC/2.

2) Em um trapézio ABCD, de bases AB e CD, sejam M o ponto médio de AB e P o ponto médio de CD. Então a base média é paralela às bases do trapézio e seu comprimento é igual à semissoma das bases. MP = (AB+CD)/2.

No triângulo, ACD, ligue M (ponto médio do lado AD) ao ponto O (ponto médio do lado AC) como os triângulos ADC e AMO possuem 2 lados em proporção de 1:2 e o mesmo ângulo ADC, então a proporção entre as bases também é de 1:2. Analogamente prova-se isso para o triângulo ACB o que conclui nossa demonstração.

Agora, voltando à questão:

Liga M ao ponto N (ponto médio de CB), MN é mediana relativa à hipotenusa, então MN = 2 e, além disso, MN é base média = AB + CD/2 -> AB + CD = 4
Portanto, o perímetro do trapézio = 4 + 4 + 4 = 12.

Agora entendi. Não me lembrava de que a mediana relativa à hipotenusa valia metade da hipotenusa.
Muito obrigada pela explicação, ajudou muito!