Gravitação OBF

Dois corpos celestes, que orbitam em torno de um terceiro, estão em ressonância orbital quando exercem influência gravitacional periódica entre si. Este fenômeno ocorre quando a razão entre os períodos orbitais dos planetas é um número inteiro pequeno. Em geral, a ressonância orbital faz com que o corpo menos massivo seja expulso de sua órbita. Suponha que, em determinada época da formação de um sistema planetário, duas luas A e B se movam em órbitas circulares em torno de planeta P, com períodos orbitais TA e TB = 8TA, respectivamente. As massas das luas e do planeta P obedecem às seguintes relações mA = 6mB e mP = 1000mB, onde os subíndices, A, B e P, referem-se, respectivamente às luas A e B e ao planeta P. 

(a) Determine a razão entre RB/RA, onde RA e RB, são respectivamente, os raios das órbitas das luas A e B. 
(b) Seja fBA,max a intensidade da maior força gravitacional exercida pela lua A na lua B e FBP a intensidade da força gravitacional exercida pelo planeta na lua B. Determine a razão fBA,max/FBP

Olá Arthur, tudo bem?

a) Para resolvermos essa alternativa precisamos lembrar da 3ª Lei de Kepler e nesse caso podemos aplicar com segurança, afinal, as luas orbitam o mesmo corpo celeste, isto é, a constante k é a mesma (com uma diferença infinitesimal). Portanto, farei da seguinte forma:

[latex]\frac{\text{T}^{2}_{B}}{\text{T}^{2}_{A}}=\frac{k.\text{R}_{B}^{3}}{k.\text{R}_{A}^{3}}\;\Rightarrow\;\frac{\left ( 8\text{T}_{A} \right )^{2}}{\text{T}^{2}_{A}}=\frac{\text{R}_{B}^{3}}{\text{R}_{A}^{3}}\;\therefore\;\boxed{\frac{\text{R}_{B}}{\text{R}_{A}}=4}[/latex]

b) Aqui devemos prestar especial atenção da primeira força pedida, pois na alternativa solicita-se "maior força gravitacional exercida pela lua A na lua B", ou seja, quando as luas estiverem o mais próximo possível. Assim sendo, calcularemos da seguinte forma:

[latex]\left\{\begin{array}{l} \text{f}_{BA\;\;m\acute{a}x}=\frac{\text{Gm}_{A}\text{m}_{B}}{\left ( \text{R}_{B}-\text{R}_{A} \right )^{2}}=\frac{6}{9}.\frac{\text{Gm}_{B}^{2}}{\text{R}_{A}^{2}}\\\\ F_{BP}=\frac{\text{GM}_{P}\text{m}_{B}}{\text{R}_{B}^{2}}=\frac{1000}{16}.\frac{\text{Gm}_{B}^{2}}{\text{R}_{A}^{2}}\end{array}\right.[/latex]

Por fim, basta realizar a comparação solicitada no enunciado.

[latex]\frac{\text{f}_{BA\;\;m\acute{a}x}}{F_{BP}}=\frac{6}{9}.\frac{\text{Gm}_{B}^{2}}{\text{R}_{A}^{2}}.\frac{16}{1000}.\frac{\text{R}_{A}^{2}}{\text{Gm}_{B}^{2}}\;\therefore\;\boxed{\frac{\text{f}_{BA\;\;m\acute{a}x}}{F_{BP}}=\frac{4}{375}}[/latex]


Espero ter ajudado

Obrigado!!