Pentágono regular

O lado de um pentágono regular inscrito numa circunferência  de raio V10-2V5  vale:


Gab:5-V5

Boa noite.


Usando o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero inscrito na circunferência:
d*l + l*l = d*d
l^2 + d*l - d^2 = 0
l = (-d ± √(d^2 + 4d^2))/2
l = d(√5 -1)/2
l/d = (√5 -1)/2
sen(18) = l/2d = (√5 -1)/4

Sabemos que cos(2x) = 1 - 2sen^2(x)
cos(36) = 1 - 2*(6 - 2√5)/16
cos(36) = (1 + √5)/4

sen^2(36) + cos^2(36) = 1
sen^2(36) = 1 - (6 + 2√5)/16
sen(36) = √(10 - 2√5) /4

Trancando uma reta do centro da circunferência até um dos vértices do pentágono, e outra reta até o ponto médio de um lado adjacente:
sen(36) = (l/2)/R
√(10 - 2√5) /4 = l/2R

l = R√(10 - 2√5)/2


Agora que temos o lado pentágono em função do raio da circunferência circunscrita, basta substituir o valor do raio dado no enunciado:

l = (10 - 2√5)/2
l = 5 - √5


Abraços