Aritmética modular

Seja n ∈ {0,1,...,96}o menor número natural que é inverso de 4587342 módulo 97.



Qual a soma dos dígitos de n?

[latex]4587342 \equiv 18 \pmod{97} [/latex].
como mdc(18, 97)=1, e [latex]\phi(97)=96[/latex] então, pelo teorema de euler
[latex]18^{96}\equiv 1\pmod{97}[/latex], de forma que [latex]18^{95}[/latex] é o inverso multiplicativo do numero dado (sabemos que ele é unico módulo 97). Precisamos encontrar seu correspondente no conjunto dado.
Assim,
[latex]\begin{align*}18^{95}&=18\cdot2^{94}\cdot9^{94}\\&=18\cdot2^{94}\cdot81^{47}\\&\equiv -18\cdot2^{94}\cdot 16^{47}\\&\equiv-18\cdot2^{282}\\&\equiv -18\cdot 2^{90}\\&\equiv -18\cdot 512^{10}\\&\equiv -18\cdot 27^{10}\\&\equiv -2\cdot 3^{32}\\&\equiv -2\cdot 81^{8}\\&\equiv -2\cdot 16^{8}\\&\equiv -2\cdot 256^{4}\\&\equiv -2\cdot 62^4\\&\equiv -2\cdot 3844^2\\&\equiv -2\cdot 61^2\\&\equiv -2\cdot 3721\\&\equiv -2\cdot35\\&\equiv -70\\&\equiv 27 \pmod{97}\end{align*}[/latex]

assim a soma dos algarismos é 2+7=9

deve ter uma forma melhor de reduzir o numero, mas n pensei muito sobre isso
se não entender algum passo, fala aê

Deu certo cara, bateu com o gabarito! Muito obrigado!