Produto notável

por RavenaAaaaa Qui 27 maio 2021, 16:42

(OBM 2009) Se x e y são tais que ax+by=1, ax²+by²=2, ax³+by³=5 e ax^4+by^4=6, determine ax^5+by^5?

resposta:

por **PedroF.** Qui 27 maio 2021, 17:40

Olá

, a ideia que eu tive foi achar uma relação de uma equação para a outra. Tal relação ocorre quando multiplicamos uma equação por (x+y), lembrando a ideia usada no produto notável da soma de cubos. Vejamos:

[latex](a.x^2+b.y^2)=2\\(a.x^2+b.y^2)(x+y)=2(x+y)\\(ax^3+by^3)+xy(ax+by)=2(x+y)\\5+1.xy=2(x+y)[/latex]

Assim basta fazer o mesmo para outra equação:

[latex]a.x^3+b.y^3=5\\(ax^3+by^3)(x+y)=5(x+y)\\(ax^4+by^4)+xy(ax^2+by^2)=5(x+y)\\6+2.xy=5(x+y)[/latex]

Agora terminamos em um sistema de duas equações com incógnitas (xy) e (x+y), resolvendo-a encontramos:
[latex]xy=-13\\x+y=-4[/latex]
Terminando com:
[latex]ax^4+by^4=6\\(ax^4+by^4)(x+y)=6(x+y)\\(ax^5+bx^5)+xy(ax^3+by^3)=6(x+y)\\\Rightarrow (ax^5+by^5)+(-13)(5)=6(-4)\;\rightarrow (ax^5+by^5)=41[/latex]

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