Mostre que se p > 3 é primo, então p^2 = 3k + 1

por Paulo Cesar F Sex 07 maio 2021, 04:02

Mostre que se p > 3 é primo, então p^2 = 3k + 1, com k inteiro.

Estou precisando provar essa propriedade, alguém consegue me ajudar com isso?

por **Elcioschin** Sex 07 maio 2021, 12:18

p² = 3.k + 1 ---> p² - 1 = 3.k ---> (p - 1).(p + 1) = 3.k

Dado o primo p, os números (p - 1), p, (p + 1) são consecutivos

E, entre três números consecutivos, um deles é divisível por 3 ---> Logo, k é inteiro

por Edsonrs Sex 07 maio 2021, 12:27

Vou melhorar um pouquinho:

Dado o primo p, os números (p - 1), p, (p + 1) são consecutivos

E, entre três números consecutivos, um deles é divisível por 3, como p é primo, não pode ser ele então é (p-1) ou (p+1) Logo, k é inteiro.

por evandronunes Sex 07 maio 2021, 12:49

Uma outra solução.

Pelo algoritmo da divisão, dado um número natural qualquer [latex]P[/latex], ele pode ser representado pelas formas [latex]3k, 3k + 1[/latex] ou [latex]3k + 2[/latex], para algum [latex]k[/latex] natural.

Se [latex]P[/latex] for primo, como [latex]3k[/latex] é múltiplo de 3, logo [latex]P[/latex] será da forma [latex]3k + 1[/latex] ou [latex]3k +2[/latex].

Agora, temos:

para [latex]P = 3k + 1[/latex] que

[latex]P^{2} = 9k^{2} + 6k + 1 = 3.(3k^{2}+2k) + 1[/latex]

para [latex]P = 3k + 2[/latex] que

[latex]P^{2} = 9k^{2} + 12k + 4 = 3.(3k^{2} + 4k + 1) + 1[latex]

Portanto, [latex]P^2[/latex] é da forma [latex]3K + 1[/latex], para algum [latex]K[/latex] natural.

por **Medeiros** Sex 07 maio 2021, 13:49

E, entre três números consecutivos, um deles é divisível por 3, como p é primo, não pode ser ele então é (p-1) ou (p+1) Logo, k é inteiro.

vou esclarecer um pouquinho.

p, sendo primo, pode ser divisível por 3 se e apenas se p for o próprio 3. Mas como a condição inicial é "p > 3 é primo" então não pode ser ele e deve ser um dos outros dois.