EFOMM 2015 - Área de triângulo

Considerando os pontos A(1, 1), B(3, 4), C(1, 5), D(3, 2) e P como a interseção dos segmentos AB e CD, a expressão 3a + 6b , onde a é a área do triângulo APC e b é a área do triângulo BPD, é igual a

a)24
b)20
c)10
d)16
e)12

Resposta:

Opa, recomendo que rabisque os pontos no plano, vai facilitar bem.
Para achar as retas AB e CD use Y - Yo = m (X - Xo)
m = (∆Y / ∆X)
Jogue uma reta na outra. AB em CD, para achar o ponto P.
Repare que os pontos A e C tem a mesma abscissa. Assim também o tem os pontos B e D.
Use  (base . altura ) / 2  para calcular as áreas.
Qualquer coisa pode perguntar.

Eu tinha terminado essa questão faz um tempo mas quando eu fui enviar, eu não sei o que aconteceu e voltei para a página inicial e a resolução não foi enviada. Enfim, vou deixar minha solução aqui para todo trabalho não ser em vão.
Reta AB: (1,1) e (3,4)
Jogando esses pontos na equação da reta y = ax + b, você encontra que a equação da reta AB é igual a: 
[latex]y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}[/latex]
Utilizando a mesma ideia para determinar a equação da reta CD, você encontra:
[latex]y=\frac{-3}{2}+\frac{13}{2}[/latex]
Logo, montando um sistema para determinar o ponto de intersecção dessas duas retas (ponto P):
[latex]\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} & \\ y=\frac{-3}{2}x+\frac{13}{2} & \end{matrix}\right. \therefore x=\frac{7}{3},y=3\therefore P(\frac{7}{3},3) [/latex]
Um possível método para determinar a área de um triângulo de coordenadas (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) no plano cartesiano:
[latex]S\Delta =\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1&y_1 & \\ x_2&y_2 & \\ x_3&y_3 & \\ x_1&y_1 & \end{Vmatrix}[/latex]
Utilizando isso para calcular a área do triângulo APD:
[latex]S(APC)=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}1&1 & \\ \frac{7}{3}&3 & \\ 1&5 & \\ 1&1 & \end{Vmatrix}=\frac{8}{3}=a[/latex]
O mesmo para o triângulo BPD:
[latex]S(BPD) =\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}3&4 & \\ \frac{7}{3}&3 & \\ 3&2 & \\ 3&4 & \end{Vmatrix}=\frac{2}{3}=b[/latex]
Logo:
[latex]3a+6b=3.\frac{8}{3}+6.\frac{2}{3}=12[/latex]
Eu resumi a resolução para não ficar muito grande, mas se tiver alguma dúvida, só perguntar.

Uma solução por Geom Plana.

obs: percebi que na distração escrevi as coordenadas de P invertidas. Mas elas nem são necessárias e não foram usadas; escrevi-as antes da resolução apenas "por esporte".