Momento de Inercia

por LuanaSales12 Seg 01 Jun 2020, 07:45

A densidade em cada ponto de uma placa quadrada de lado a é proporcional à distância do ponto a um vértice O do quadrado. Calcular o momento de inércia da placa em relação a um lado que contém vértice O.
Ps nao tem imagem

por **mauk03** Seg 01 Jun 2020, 13:51

Assumindo que o vértice O esteja na origem:

Seja k uma constante de proporcionalidade, a densidade no ponto P(x, y) é:
σ(x,y) = k*dist(P, O) = k√(x² + y²)

Onde:
σ(x,y) = dm/dA ⇒ dm = σ(x,y)dA

Assumindo o lado da placa que está contido no eixo y, tem-se que a distância de P(x, y) até esse lado é:
r = x

Essa placa é delimitada geometricamente pelos intervalos:
0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ a

Assim:
$gif.latex?I=\int&space;_{C}r^{2}dm=\int&space;_{C}r^{2}\sigma&space;(x,y)dA=k\int_{0}^{a}\int_{0}^{a}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$

Agora é só cálculo integral.

por LuanaSales12 Seg 01 Jun 2020, 20:56

Poxa eu não to conseguindo resolver essa integral , porfavor você podia me ajudar

por **mauk03** Seg 01 Jun 2020, 21:49

Parece que essa integral não tem solução real. Certeza que o enunciado é esse mesmo? Tem gabarito? Talvez eu tenha errado algo aqui. Mais tarde tento refazer, se conseguir alguma coisa posto aqui.