Pontos notáveis de um triângulo

Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo em A, o ponto G é a intersecção dos segmentos AP e CQ é o baricentro o triângulo. 

Sabendo que GP = 5 e AQ = 12, determine as medidas dos lados do triângulo ABC.


Não tenho o gabarito, não pude desenvolver o exercício pois o enunciado não informa se as retas são perpendiculares entre si.

Muito obrigada!!

Obrigado pela solução Medeiros, também tava apanhando nesse exercício.

Alguém consegue outra solução sem ser com a sacada do circuncentro?
Creio que para isso seja necessário garantir que a reta PQ forme um ângulo reto com a base AB, mas não consigo pensar em nada.

Abraços a todos!

Kaleun

evidenciei o circuncentro porque além de achar mais fácil a resolução considero bom que tenhamos em mente essa característica; mas não é absolutamente necessário e há outro modo.

Se G é baricentro, como afirma o enunciado, então P e Q são pontos médios dos respectivos lados pois o baricentro é encontro das medianas. Desta forma, aplicando o teorema de Tales, temos as concorrentes BA e BC cortadas por PQ e CA que são paralelas pois a razão entre segmentos é constante: BP=PC=a e BP/12 = PC/12 = a/12. E como, por construção (enunciado), o triângulo é retângulo em A, CA é perpendicular a AB, logo PQ, paralela, também o será.

Taí, como você queria, provado aquele ângulo reto.