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por Pablo91 Qua 26 Fev 2020, 21:51

Olá! Estou enviando esse tópico pelo celular.

Para os números reais "a" e "b" as igualdades
a^3 - 3a^2 + 5a = 1 e b^3 - 3b^2 + 5b = 5 são verdadeiras. O valor de a + b é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

por **Elcioschin** Qua 26 Fev 2020, 22:39

a³ - 3.a² + 5.a = 1 ---> I
b³ - 3.b² + 5.b = 5 ---> II

II - I ---> (b³ - a³) - 3.(b² - a²) + 5.(b - a) = 4

(b - a).(a² + b² + a.b) - (3.b + 3.a).(b - a) + 5.(b - a) = 4

(b - a).(a² + b² + a.b - 3.b - 3.a + 5.b - 5.a) = 4

(b - a).(a² + b² +a.b + 2.b - 8.a) = 4

Fatorando 4 ---> 4 = 1.4 ou 4 = 2.2

b - a = 1 ---> b = a + 1
a² + b² +a.b + 2.b - 8.a = 4 ---> Resolva o sistema e calcule a, b

b - 1 = 2
a² + b² +a.b + 2.b - 8.a = 2 ---> Idem

por Pablo91 Qui 27 Fev 2020, 06:59

Olá! Obrigado pela ajuda. Mas tenho uma dúvida.
No final, você desmembrou o número 4 em 4×1 ou 2×2. Mas porque não poderia ser, 16 × 1/4 ou -1 e -4, por exemplo? Já que "a" e "b" são reais?
Mais uma vez, obrigado!

por **Elcioschin** Qui 27 Fev 2020, 13:52

Poderia sim, testar os inteiros 4*1, (-4).(-1), (-1,).(-4), (-2,-2)
Imagino que as soluções são inteiras.

por **fantecele** Qui 27 Fev 2020, 14:15

Uma forma de fazer seria assim.

Primeiro perceba que (x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1.

a³ - 3a² + 5a = 1
(a - 1)³ + 2a = 0
Fazendo c = a - 1:
c³ + 2c + 2 = 0 (I)

b³ - 3b² + 5b = 5
(b - 1)³ + 2b = 4
Fazendo d = b - 1:
d³ + 2d - 2 = 0 (II)

(I) + (II):
c³ + d³ + 2c + 2d = 0
(c + d)(c² - cd + d²) + 2(c + d) = 0
(c + d)(c² - cd + d² + 2) = 0 (III)

Daqui tiramos que c + d = 0, dessa forma:
a - 1 + b - 1 = 0
a + b = 2

Perceba que de (III) "c² - cd + d² + 2" não pode ser igual a zero, para mostrar isso basta tomar a equação do segundo grau em c, você vai chegar em números complexos, o que não pode ocorrer, pois a e b são números reais.

por **petras** Qui 27 Fev 2020, 18:29

Pode ser resolvido da forma abaixo?

\\(a-1)^3 = a^3-3a^2+3a-1\\
a^3 - 3a^2 + 5a -1=0 \rightarrow (a-1)^3 +2a=0(I)\\
(b-1)^3=b^3-3b^2+3b-1\\
b^3-3b^2+5b-5=0 \rightarrow (b-1)^3+(2b-4)=0(II)\\
(I+II) = (a-1)^3+2a+(b-1)^3+(2b-4)=0 \rightarrow \\
(a-1)^3+2a=-(b-1)^3-(2b-4) \\
Igualdade~Polinômios: 2a = -(2b-4)\rightarrow 2a = -2b+4\rightarrow 2a+2b = 4\rightarrow \boxed{\color{red}(a+b)=2}

Essa igualdade de polinômios pode ser feita?

por **fantecele** Qui 27 Fev 2020, 22:42

Tipo, a igualdade "(a - 1)³ + 2a = - (b - 1)³ - (2b - 4)" pode ser feita, até por que os 2 lados são iguais a zero, mas fazer 2a = -(2b - 4) não pode fazer não, nesse caso eu acho que deu certo por coincidência mesmo, geralmente eu acho que não daria certo não, é sempre bom tentar desenvolver mais um pouco pra ter realmente certeza da resposta.

Acho que é isso, qualquer coisa é só falar.