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Mensagem por Carolziiinhaaah em Ter 01 Mar 2011, 18:52

Se a³ - 3ab² = 52 e b³ - 3a²b = 47, o valor de a² + b² é igual a:

gabarito: 17.
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Mensagem por Elcioschin em Ter 01 Mar 2011, 22:14

a³ - 3ab² = 52 ----> 3a²b = a³ - 52 ----> I

b³ - 3a²b = 47 ----> - 3a²b = 47 - b³ ----> II

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ----> (a - b)³ = a³ + (a³ - 52) + (47 - b³) ----> (a - b)³ = 2*(a³ - b³) - 5

2*(a³ - b³) - (a - b)³ = 5 ---> 2*(a - b)*(a² + ba + b²) - (a - b)*(a - b)² = 5 ---->

(a - b)*(2a² + 2ba + 2b²) - (a - b)*(a² - 2ba+ b²)² = 5 ----> (a - b)*[(2a² + 2ba + 2b²) - (a² - 2ba + b²)] = 5

(a - b)*(a² + 4ba + b²) = 1*5 ---> Comparando;

a - b = 1 ----> a = b + 1 ----> III

a² + 4ba + b² = 5 ----> (b + 1)² + 4b(b + 1) + b² = 5 ----> (b² + 2b + 1) + 4b² + 4b + b² = 5 ---->

6b² + 6b - 4 = 0 ----> 3b² + 3b - 2 = 0 ----> Raiz positiva ----> b = (- 3 + \/33)/6 ----> a = (3 + \/33)/6

a² = (3 + \/33)²/6² ----> a² = (9 + 6*\/33 + 33)/36 ----> a² = (42 + \/33)/36 ---> a² = (7 + V33)/6

b² = (- 3 + \/33)²/6² ----> b² = (9 - 6*\/33 + 33)/36 ---> b² = (42 - 6*\/33)36 ---> b² = (7 - \/33)/6

a² + b² = 14

Tens certeza quanto ao gabarito ?
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Mensagem por Carolziiinhaaah em Qua 02 Mar 2011, 17:52

hmm, as alternativas são essas:

a) 17
b) 4.³V13
c) 4.V13
d) 3
e) 2

consta como a alternativa a) a correta :/
a menos que tenha algum erro de grafia..
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Mensagem por ivomilton em Qua 02 Mar 2011, 17:55

Boa tarde, amigos!

Fazendo-se:

a = 3 +V33/6
b =-3 +V33/6

o valor da expressão a³ - 3ab² não está dando 52.
Vejam cálculo efetuado no Excel (abaixo):

=(3+(33^0,5/6))^3-3*(3+(33^0,5/6)*(-3+(33^0,5/6)^2)) = 58,96209

..............................................

Como o gabarito informa que a² + b² = 17, creio que então:

a²=16 ---> a=4
b²=1 ----> b=1

a³ - 3ab² = 4³ - 3.4.1² = 64 - 12 = 52 (OK)
b³ - 3a²b = 1³ - 3.4².1 = 1 - 48 = -47 (observem que deu negativo!)

Será que não está faltando o sinal "-" nesse 47??
------------------------------------------------------
Confirmado o acima, teremos:
(a - b)*(a² + 4ab + b²) = 52-(-47) = 99 ---> decomponível em 3*33
(a - b) = 3 ---> b = a - 3

(a² + 4ab + b²) = 33
a² + 4a*(a-3) + (a-3)² = 33
a² + 4a² - 12a + a² - 6a + 9 = 33
6a² - 18a + 9 - 33 = 0

6a² - 18a - 24 = 0 ---> simplificando por 6:
a² - 3a - 4 = 0 ---> que resolvida nos dará:
a' = 4
a" = -1

b' = a'-3 = 4-3 = 1
b" = a"-3 = -1-3 = -4

Finalmente,
a² + b² = 4² + 1² = (-1)² + (-4)²
a² + b² = 17







Um abração para ambos!
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