Produtos notáveis
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Produtos notáveis
Se a³ - 3ab² = 52 e b³ - 3a²b = 47, o valor de a² + b² é igual a:
gabarito: 17.
gabarito: 17.
Carolziiinhaaah- Jedi
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Data de inscrição : 23/09/2010
Idade : 31
Localização : Rio de Janeiro
Re: Produtos notáveis
a³ - 3ab² = 52 ----> 3a²b = a³ - 52 ----> I
b³ - 3a²b = 47 ----> - 3a²b = 47 - b³ ----> II
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ----> (a - b)³ = a³ + (a³ - 52) + (47 - b³) ----> (a - b)³ = 2*(a³ - b³) - 5
2*(a³ - b³) - (a - b)³ = 5 ---> 2*(a - b)*(a² + ba + b²) - (a - b)*(a - b)² = 5 ---->
(a - b)*(2a² + 2ba + 2b²) - (a - b)*(a² - 2ba+ b²)² = 5 ----> (a - b)*[(2a² + 2ba + 2b²) - (a² - 2ba + b²)] = 5
(a - b)*(a² + 4ba + b²) = 1*5 ---> Comparando;
a - b = 1 ----> a = b + 1 ----> III
a² + 4ba + b² = 5 ----> (b + 1)² + 4b(b + 1) + b² = 5 ----> (b² + 2b + 1) + 4b² + 4b + b² = 5 ---->
6b² + 6b - 4 = 0 ----> 3b² + 3b - 2 = 0 ----> Raiz positiva ----> b = (- 3 + \/33)/6 ----> a = (3 + \/33)/6
a² = (3 + \/33)²/6² ----> a² = (9 + 6*\/33 + 33)/36 ----> a² = (42 + \/33)/36 ---> a² = (7 + V33)/6
b² = (- 3 + \/33)²/6² ----> b² = (9 - 6*\/33 + 33)/36 ---> b² = (42 - 6*\/33)36 ---> b² = (7 - \/33)/6
a² + b² = 14
Tens certeza quanto ao gabarito ?
b³ - 3a²b = 47 ----> - 3a²b = 47 - b³ ----> II
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ----> (a - b)³ = a³ + (a³ - 52) + (47 - b³) ----> (a - b)³ = 2*(a³ - b³) - 5
2*(a³ - b³) - (a - b)³ = 5 ---> 2*(a - b)*(a² + ba + b²) - (a - b)*(a - b)² = 5 ---->
(a - b)*(2a² + 2ba + 2b²) - (a - b)*(a² - 2ba+ b²)² = 5 ----> (a - b)*[(2a² + 2ba + 2b²) - (a² - 2ba + b²)] = 5
(a - b)*(a² + 4ba + b²) = 1*5 ---> Comparando;
a - b = 1 ----> a = b + 1 ----> III
a² + 4ba + b² = 5 ----> (b + 1)² + 4b(b + 1) + b² = 5 ----> (b² + 2b + 1) + 4b² + 4b + b² = 5 ---->
6b² + 6b - 4 = 0 ----> 3b² + 3b - 2 = 0 ----> Raiz positiva ----> b = (- 3 + \/33)/6 ----> a = (3 + \/33)/6
a² = (3 + \/33)²/6² ----> a² = (9 + 6*\/33 + 33)/36 ----> a² = (42 + \/33)/36 ---> a² = (7 + V33)/6
b² = (- 3 + \/33)²/6² ----> b² = (9 - 6*\/33 + 33)/36 ---> b² = (42 - 6*\/33)36 ---> b² = (7 - \/33)/6
a² + b² = 14
Tens certeza quanto ao gabarito ?
Elcioschin- Grande Mestre
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Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Produtos notáveis
hmm, as alternativas são essas:
a) 17
b) 4.³V13
c) 4.V13
d) 3
e) 2
consta como a alternativa a) a correta :/
a menos que tenha algum erro de grafia..
a) 17
b) 4.³V13
c) 4.V13
d) 3
e) 2
consta como a alternativa a) a correta :/
a menos que tenha algum erro de grafia..
Carolziiinhaaah- Jedi
- Mensagens : 480
Data de inscrição : 23/09/2010
Idade : 31
Localização : Rio de Janeiro
Re: Produtos notáveis
Boa tarde, amigos!
Fazendo-se:
a = 3 +V33/6
b =-3 +V33/6
o valor da expressão a³ - 3ab² não está dando 52.
Vejam cálculo efetuado no Excel (abaixo):
=(3+(33^0,5/6))^3-3*(3+(33^0,5/6)*(-3+(33^0,5/6)^2)) = 58,96209
..............................................
Como o gabarito informa que a² + b² = 17, creio que então:
a²=16 ---> a=4
b²=1 ----> b=1
a³ - 3ab² = 4³ - 3.4.1² = 64 - 12 = 52 (OK)
b³ - 3a²b = 1³ - 3.4².1 = 1 - 48 = -47 (observem que deu negativo!)
Será que não está faltando o sinal "-" nesse 47??
------------------------------------------------------
Confirmado o acima, teremos:
(a - b)*(a² + 4ab + b²) = 52-(-47) = 99 ---> decomponível em 3*33
(a - b) = 3 ---> b = a - 3
(a² + 4ab + b²) = 33
a² + 4a*(a-3) + (a-3)² = 33
a² + 4a² - 12a + a² - 6a + 9 = 33
6a² - 18a + 9 - 33 = 0
6a² - 18a - 24 = 0 ---> simplificando por 6:
a² - 3a - 4 = 0 ---> que resolvida nos dará:
a' = 4
a" = -1
b' = a'-3 = 4-3 = 1
b" = a"-3 = -1-3 = -4
Finalmente,
a² + b² = 4² + 1² = (-1)² + (-4)²
a² + b² = 17
Um abração para ambos!
Fazendo-se:
a = 3 +V33/6
b =-3 +V33/6
o valor da expressão a³ - 3ab² não está dando 52.
Vejam cálculo efetuado no Excel (abaixo):
=(3+(33^0,5/6))^3-3*(3+(33^0,5/6)*(-3+(33^0,5/6)^2)) = 58,96209
..............................................
Como o gabarito informa que a² + b² = 17, creio que então:
a²=16 ---> a=4
b²=1 ----> b=1
a³ - 3ab² = 4³ - 3.4.1² = 64 - 12 = 52 (OK)
b³ - 3a²b = 1³ - 3.4².1 = 1 - 48 = -47 (observem que deu negativo!)
Será que não está faltando o sinal "-" nesse 47??
------------------------------------------------------
Confirmado o acima, teremos:
(a - b)*(a² + 4ab + b²) = 52-(-47) = 99 ---> decomponível em 3*33
(a - b) = 3 ---> b = a - 3
(a² + 4ab + b²) = 33
a² + 4a*(a-3) + (a-3)² = 33
a² + 4a² - 12a + a² - 6a + 9 = 33
6a² - 18a + 9 - 33 = 0
6a² - 18a - 24 = 0 ---> simplificando por 6:
a² - 3a - 4 = 0 ---> que resolvida nos dará:
a' = 4
a" = -1
b' = a'-3 = 4-3 = 1
b" = a"-3 = -1-3 = -4
Finalmente,
a² + b² = 4² + 1² = (-1)² + (-4)²
a² + b² = 17
Um abração para ambos!
ivomilton- Membro de Honra
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Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
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