Dúvida sobre a resolução de uma equação fracionária

Ao tentar resolver a equação

(x+1)/(x+2) + (x+6)/(x+7) = (x+2)/(x+3) + (x+5)/(x+6)

acabei chegando à seguinte equação:

(2x + 9)/(x² + 9x + 14) = (2x + 9)/(x² + 9x + 18)

Considerado que as frações são iguais, e seus numeradores também são iguais (2x + 9 = 2x + 9), pensei que seus denominadores também teriam de ser iguais, ou seja, x² + 9x + 14 = x² + 9x + 18, e daí que 14 = 18, o que é um absurdo, e portanto a equação original não teria solução.

Mas multiplicando os meios pelos extremos e resolvendo a equação obtida cheguei ao resultado correto, que é -9/2.

Minha pergunta é: por que do primeiro modo o resultado foi diferente? Se duas frações algébricas são iguais e têm numeradores iguais, nem sempre se pode considerar seus denominadores iguais?

Por favor, mostre o passo-a-passo da sua solução acima e o da solução que deu certo.

Infelizmente não estou conseguindo usar o LATEX, então vou tentar fazer sem ele. Espero que seja compreensível.

(x+1)/(x+2) + (x+6)/(x+7) = (x+2)/(x+3) + (x+5)/(x+6) ⇒

⇒ 1 - 1/(x+2) + 1 - 1/(x+7) = 1 - 1/(x+3) + 1 - 1/(x+6) ⇒
⇒ - (1/(x+2) + 1/(x+7)) = - (1/(x+3) + 1/(x+6)) ⇒
⇒ 1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6) ⇒
⇒ (2x + 9)/(x² + 9x + 14) = (2x + 9)/(x² + 9x + 18)

1º modo: Considerado que as frações são iguais, e seus numeradores também são iguais (2x + 9 = 2x + 9), pensei que seus denominadores também teriam de ser iguais, ou seja, x² + 9x + 14 = x² + 9x + 18, e daí que 14 = 18, o que é um absurdo, e portanto a equação original não teria solução.


2º modo: multiplicando cruzado (meios pelos extremos):


2x³ + 27x + 109x + 126 = 2x³ + 27x + 117x + 162  ⇒


 ⇒ 109x + 126 = 117x + 162  ⇒
 ⇒ -8x = 36  ⇒
 ⇒ x = -9/2

Não entendi como vc fez a multiplicação cruzada.

    (2x + 9)/(x² + 9x + 14) = (2x + 9)/(x² + 9x + 18) ⇒ (2x + 9)(x² + 9x + 18) = (2x + 9)/(x² + 9x + 14) ⇒ 
[size=11]⇒ 2x³ + 27x + 117x + 162 = 2x³ + 27x + 109x + 126[/size]

Agora entendi.
Acredito que o fato de comparar apenas os denominadores, eliminou a única solução x = - 9/2