IME 2002

Item A)

Energia mecânica do sistema (inicialmente):

\\E_{m_i}=\frac{1}{2}mv^2+mgh+\frac{k|Q_1||Q_2|}{d}\\\\sen(\alpha )=\frac{h}{d}\to d=hcsc(\alpha )\\\\E_{m_i}=\frac{1}{2}mv^2+mgh+\frac{k|Q_1||Q_2|}{hcsc(\alpha )}=25\ J

Seja "y" uma distância geral entre os blocos. Da conservação da energia mecânica do sistema:

\\\frac{1}{2}mv^2+mgysen(\alpha )+\frac{k|Q_1||Q_2|}{y}=25\\\\0,5.0,1.(0)^2+0,1.10.0,5.y+\frac{9.10^9.2.10^{-3}.\left ( \frac{1}{9} \right ).10^{-4}}{y}=25\\\\\therefore \ \boxed {y_{min}=10\ m\ \wedge\ y_{max}=40\ m}

Item B)

Ainda pensando em termos mais gerais:

\\E_{m_f}=E_{m_i}\to E_C+E_{P_g}+E_{Ele}=25\\\\\frac{1}{2}mv^2+mgysen(\alpha )+\frac{k|Q_1||Q_2|}{y}=25\\\\\frac{v^2}{20}+\frac{y}{2}+\frac{200}{y}=25\to v(y)=\sqrt{20.\left [ 25-\left (\frac{y}{2}+\frac{200}{y}  \right ) \right ]}\\\\\mathrm{Desigualdade\ das\ M\acute{e}dias:\ }M_A\geq M_G\\\\\frac{\frac{y}{2}+\frac{200}{y}}{2}\geq \sqrt{\left ( \frac{y}{2} \right )\left ( \frac{200}{y} \right )}\to \frac{\frac{y}{2}+\frac{200}{y}}{2}\geq 10\to \frac{y}{2}+\frac{200}{y}\geq 20\\\\\therefore \ \frac{y}{2}+\frac{200}{y}=20\to v(y)=v_{max}=\sqrt{20.(25-20)}\to \boxed {v_{max}=10\ \frac{m}{s}}

Uma observação: vamos supor que a questão te perguntasse se no sistema haveria a possibilidade ocorrer um M.H.S.. Bom, pensando de forma simplista, para haver a possibilidade de ocorrer um M.H.S. a função energia potencial do sistema deveria ser uma parábola, o que não ocorre, veja:

Gráfico que ilustra uma situação na qual ocorre um M.H.S.:



Nota: desconsidere a curva que representa o comportamento da energia cinética, pois aqui o que nos interessa é apenas a energia potencial. Sendo assim, no gráfico acima, observe apenas a curva roxa que descreve o comportamento da energia potencial.

Energia potencial do nosso sistema cuja função e gráfico são apresentados abaixo:

E(y)=mgysen(\alpha )+\frac{k|Q_1||Q_2|}{y}\to E(y)=\frac{y}{2}+\frac{200}{y}



que nem de longe é uma parábola.

Se a gente comparar esse gráfico com o primeiro, dá para dizer que neste último ocorre o seguinte: a energia potencial diminui até o seu mínimo (próximo de y=20 m) e, neste ponto, a energia cinética é máxima. Este ponto é um ponto de inflexão, o que indica que a energia cinética neste ponto não aumenta e nem diminui, apenas assume o seu valor máximo, o que naturalmente acontece com a velocidade que assume, portanto, o seu valor máximo. Se a velocidade não varia nesse instante, isso indica que nesse ponto a aceleração é nula (condição de equilíbrio). Daí encontramos o valor de "y" para o qual a velocidade é máxima. Veja:

\\\sum \vec{F}_x=\vec{0}\to \frac{k|Q_1||Q_2|}{y^2}=mgsen(\alpha )\to y=\sqrt{\frac{k|Q_1||Q_2|}{mgsen(\alpha )}}\to y=20\ m\\\\\therefore \ v(y=20)=v_{max}=\sqrt{20.\left [ 25-\left ( \frac{20}{2}+\frac{200}{20} \right ) \right ]}\to \boxed {v_{max}=10\ \frac{m}{s}}

Esta é uma outra forma mais física de se pensar embora seja necessário ter algumas noções de Cálculo Diferencial. Enfim, acho que pensando apenas de forma mais matemática, usando a Desigualdade das Médias, a resolução saia bem mais fácil.

Sim. É um movimento oscilatório, mas não é um M.H.S..

Eu não saberia dizer em que tipo de movimento oscilatório esse se encaixaria, porque é um comportamento estranho, por isso que eu acho essa questão difícil do ponto de vista físico. Eu acho mais complicado ter a sacada da condição de equilíbrio que eu falei ali em cima sem ter uma noção de como é a curva da função da energia potencial, a qual não é uma curva trivial.

Sim, sim. É nula porque eu peguei a condição instantânea de equilíbrio.