Limite de raiz cúbica

por Natloc215 Sáb 20 Abr 2019, 17:02

Olá, gostaria de calcular o seguinte limite, porém sem utilizar l'hospital porque ainda não tive essa aula.

\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x+7} - 2}{x-1}

O gabarito diz: 1/7, mas acredito que esteja errado porque no Symbolab e no Wolfram dá 1/12. (Eles utilizam l'hospital)

por **Giovana Martins** Sáb 20 Abr 2019, 17:10

\\\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{(x+7)-8}\\\\y^3=x+7\ \therefore \ se\ x\to 1,y\to2\\\\\therefore \ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\lim_{y\to 2}\frac{y-2}{y^3-8}=\lim_{y\to 2}\frac{y-2}{(y-2)(y^2+2y+4)}\\\\\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\lim_{y\to 2}\frac{1}{y^2+2y+4},y\neq 2\\\\\therefore \ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\frac{1}{(2)^2+2.(2)+4}\to \boxed {\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\frac{1}{12}}