Equação trigonométrica

Relembrando a primeira mensagem :

Ainda estou com dúvidas em relação a esse tipo de equação
Resolva a equação
 

No universo U= [0;2pi]

Gabarito:

"Quando você diz que ''a'' corresponde ao ângulo na primeira volta, tanto faz o sentido ser horário ou anti-horário ?"

Sim, mas depende do intervalo dado. Por exemplo, se a questão pedisse as soluções no intervalo de [0,-2pi] você teria que percorrer o ciclo no sentido horário e não no sentido anti-horário como estamos fazendo nesta questão.

Se não tiver um intervalo delimitador não tem problema apresentarmos uma solução geral percorrendo o sentido horário. O -pi/9+2kpi/3 indicado pelo autor como solução é um bom exemplo disso.

Muito obrigado, Giovana. Te mandei uma MP

Respondida.

(Adicionando algumas dúvidas que tive nessa questão e as respostas que recebi da colega Giovana Martins.)
a) Resolvi a letra a da seguinte maneira:

tg(3x+\frac{\pi }{6})=\frac{-\sqrt{3}}{3}


(3x+\frac{\pi}{6})=arctg(\frac{-\sqrt{3}}{3})+k\pi\rightarrow (3x+\frac{\pi}{6})=\frac{-\pi}{6}+k\pi\therefore \\\\x=-\frac{\pi}{9}+\frac{k\pi}{3}(k\in \mathbb{Z})

Na letra b, entretanto, não pude deixar as respostas condensadas, ou seja, deveria aparecer o ''2kpi'' invés de apenas kpi
b)
tg(3x+\frac{\pi }{6})=\frac{-\sqrt3}{3}\rightarrow \\\\i)(3x+\frac{\pi }{6})=2\pi+arctg(-\frac{\sqrt3}{3})+2k\pi\\\\ii)(3x+\frac{\pi }{6})=\pi+arctg(\frac{-\sqrt3}{3})+2k\pi

Entretando, ao substituir valores de k por 1,2 não chego no gabarito. O gabarito considera que tanto na expressão i) quanto na ii) eu deveria ter somado ''kpi'' e não ''2kpi''. Foi isso que não entendi

Nota: na expressão i) eu somei 2pi à solução para encontrar o intervalo que está entre [0;2pi]. Fiz o mesmo processo na expressão ii), entretanto, somando pi.


______________________ respostas que recebi da Giovana________________________
Quanto a sua dúvida a ideia é a seguinte. A gente sabe que as soluções das equações trigonométricas são da seguinte forma:

sen(x)=sen(y) → x=y+2k∏ v x=∏-y+2k∏

cos(x)=cos(y) → x=±­y+2k∏

tg(x)=tg(y) → x=y+k∏

Nota¹: estou tomando como base o que eu vi no FME, tudo bem?

Nota²: Está vendo esse 2k∏? Nem sempre vai ser 2k∏. As vezes será apenas k∏. A explicação é a seguinte: vamos resolver a equação cos(x)=0, pois ela ilustra esse caso.

cos(x)=0 → cos(x)=cos(∏/2) → x=±∏/2+k∏

A gente usa o k∏ (ou 2k∏ quando é necessário) na notação porque a gente quer informar que, para um intervalo não definido, a gente tem infinitos arcos que satisfazem cos(x)=0, ok?

Bom, pensando em apenas uma volta há apenas dois arcos que satisfazem a equação cos(x)=0, que é o x=∏/2 ou x=3∏/2. No ciclo trigonométrico, para ir de ∏/2 até 3∏/2 (para irmos de uma solução até outra), precisamos apenas dar meia volta, por isso neste caso usamos k∏ e não 2k∏. Ainda assim, esta equação admite a solução do tipo x=±∏/2+2k∏, pois neste caso ainda conseguimos pegar todas as soluções. Agora, veja um contraexemplo aqui: https://pir2.forumeiros.com/t144912-sistema-de-equacoes

Dê uma olhada na postagem original quando eu falo do k∏ para ver se fica mais claro: https://pir2.forumeiros.com/t156607-equacao-trigonometrica

Vamos para a tangente: tg(x)=1 → tg(x)=tg(∏/4) → x=∏/4+k∏, ok?

Ignore o k∏ por enquanto. Pensando no ciclo trigonométrico, a primeira solução para tg(x)=1 é x=∏/4, ok? A próxima solução quando fazemos o esboço do ciclo seria x=5∏/4. De ∏/4 até 5∏/4 percorremos meia volta por isso o k∏. Na tangente a gente vai encontrando as soluções a cada meia volta. A próxima seria solução 9∏/4 após percorrermos mais meia volta (k∏).