Bolas em caixas

De quantos formas podemos colocar 4 bolas diferentes em 4 caixas diferentes sendo q nenhuma caixa pode ter mais que 2 bolas?
Resposta:

(1,1,1,1) ou (2,1,1,0) ou (2,2,0,0)
permutar os numeros e as bolas:
1*24 + 12*12 + 6*6 = 204

Eu não entendi de onde veio esse 12*12 e 6*6

Até entendo que pra permutar os numeros (2,1,1,0) são 12 formas, pois é 4!/2 . Mas daí pra permutar as cores não está fazendo sentido.
Por que se terão 2 bolas numa caixa, nós podemos considerar elas como 1 só, e ficara 3! formas de permutar as cores. Daí no caso (2,1,1,0) ficaria: 12* 3! = 72. Por que estou errado?

Quatro bolas em quatro caixas -> 4^4 = 256 possibilidades

Não podemos colocar três ou quatro bolas em nenhuma caixa.

Vamos representar a caixa que cada bola está por 1 a 4, e o número da bola pela ordem em que ela se encontra na sequência. Veja o exemplo:

1134 -> primeira e segunda bola na caixa 1, terceira na caixa 3 e quarta na caixa 4

Os casos que violam à regra são:

- Aqueles em que as quatro bolas estão na mesma caixa:
1111
2222
3333
4444

Portanto temos 4 possibilidades.

- Aqueles em que três bolas estão numa mesma caixa:

Para as bolas 1, 2 e 3 na mesma caixa:

111x -> em que x pode ser 2, 3 ou 4
222x -> em que x pode ser 1, 3 ou 4
333x -> em que x pode ser 1, 2 ou 4
444x -> em que x pode ser 1, 2 ou 3
Total: 3x4 = 12

E o mesmo se repete para as bolas na mesma caixa: (1, 2, 4) -- (1, 3, 4) -- (2, 3, 4).

Portanto temos 12x4 = 48 possibilidades.

Das 256 possibilidades, as que violam à regra são 4+48 = 52. Temos então 256-52 = 204 possibilidades.

E o mesmo se repete para as bolas na mesma caixa: (1, 2, 4) -- (1, 3, 4) -- (2, 3, 4).

Oq vc quis dizer com isso?

Primeiro supus que as bolas 1, 2 e 3 estavam na mesma caixa.

Para três bolas na mesma caixa, há outras possibilidades além dessa suposta. Em resumo, podemos ter:

Bolas 1, 2 e 3 na mesma caixa.
Bolas 1, 2 e 4 na mesma caixa.
Bolas 1, 3 e 4 na mesma caixa.
Bolas 2, 3 e 4 na mesma caixa.

Concorda que não há um trio diferente desse?