(AFA 2000) Análise Combinatória

por Victor4610 Ter 31 Out 2017, 18:33

Olá a todos !

Estou com dúvida sobre como chegar a uma afirmação que está na resolução da QUESTÃO que deixarei logo abaixo. A afirmação será destacada negrito na parte RESOLUÇÃO.

QUESTÃO:

(AFA-2000) Se, no desenvolvimento do binômio $(x + y)^{m+5}$ , ordenado segundo as potências decrescentes de x, o quociente entre os termos que ocupam as posições (m + 3) e (m +1) é $\frac{2}{3}y^{2}x^{-2}$ , então o valor de m é :

a) par b) primo c)impar d) múltiplo de 3

RESOLUÇÃO:

A posição (m + 3) ocorre para p = m + 2 e a posição (m + 1) ocorre para p = m. Portanto :

$\frac{T_{m+3}}{T_{m+1}} = \frac{\binom{m+5}{m+2}.x^{(m+5) - (m+2)}.y^{m+2}}{\binom{m+5}{m}.x^{(m+5) - (m)}.y^{m}} = \frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}}x^{-2}.y^{2}$

Então, podemos escrever que:

$\frac{2}{3}= \frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}} \rightarrow 2\binom{m+5}{m}= 3\binom{m+5}{m+2} \rightarrow \frac{2.(m+5).(m+4).(m+3).(m+2).(m+1)}{120} \rightarrow m^{2}+3m -28 = 0 \rightarrow (m+7).(m-4)=0 \rightarrow m = 4. (par)$ .

Obrigado pela atenção .

por **Elcioschin** Ter 31 Out 2017, 22:05

A fórmula do termo geral de (x + y)ⁿ é:

T_p+1 = C(n, p).y^p.x^n-p

^{Termo de ordem m+3 ---> p + 1 = m + 3 ---> p = m + 2}
Termo de ordem m+1 ---> p + 1 = m + 1 ---> p = m

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