congruencia

por Victor Zani Qua 19 Jul 2017, 10:39

4^100 dividido por 7 deixa resto?

por **fantecele** Qua 19 Jul 2017, 10:53

Pequeno teorema de Fermat:
Seja b um número primo e a um número ∈ ℤ, tal que mdc(a,b) = 1, então $\\a^{b-1}\equiv1(\mod b)$ .

No exercício:
4^6 ≡ 1 (mod 7)

100 = 6.16 + 4

$\\4^{6.16}\equiv (4^6)^{16}(\mod7)\\4^{96}\equiv 1(\mod7)\\4^{100}\equiv4^4(\mod7)\\4^{100}\equiv2^8(\mod7)$

$2^3\equiv1(\mod7)$

$\\4^{100}\equiv2^8(\mod7)\\4^{100}\equiv(2^3)^2.4(\mod7)\\4^{100}\equiv4(\mod7)$

Tem o jeito mais rápido também (só fiz daquele jeito ali em cima para poder usar o pequeno teorema de Fermat, caso você não conhecesse).

$\\4^{100}=2^{200}=2^{3.66+2}=2^{3.66}.2^2\\4^{100}=2^{3.66}.2^2\equiv 1.2^2(\mod 7)\\4^{100}\equiv 4(\mod7)$

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