Tópicos de Física - Capacitores

por JOAOCASSIANO Dom 09 Jul 2017, 11:32

O circuito a seguir é constituído de uma pilha de resistência interna desprezível e força eletromotriz ∈, de um resistor de resistência R, de um capacitor de capacitância C, incialmente descarregado, e de uma chave K aberta.
Fechando a chave, mostre que, após muito tempo, a energia armazenada no capacitor é igual à energia dissipada no resistor.

Tópicos de Física - Capacitores Foto_010

por **Robson Jr.** Seg 10 Jul 2017, 21:52

Quando o circuito da figura atinge o regime permanente, o capacitor fica completamente carregado e a corrente no circuito tende a zero. Nessa situação a ddp entre as placas do capacitor é a própria fem ε. Portanto, a energia armazenada é:

$\small E_{capacitor} = \frac{C\varepsilon^2}{2}$

Agora vamos tratar da energia que o resistor dissipa desde o início do carregamento até a chegada ao regime permanente.

A corrente que atravessa o circuito se relaciona com o tempo conforme a seguinte função:

$\small i=i_0e^{-t/RC}$

Essa é uma expressão clássica no estudo do regime transitório do carregamento de um capacitor. Deixo a demonstração a quem interessar no spoiler abaixo.

Spoiler:

A potência dissipada no resistor no instante t vale:

$\small P(t)=Ri^2=R\left ( \frac{\varepsilon}{R}e^{-t/RC} \right )^2 \\ \Rightarrow \ P(t)=\frac{\varepsilon^2}{R}e^{-2t/RC}$

Portanto, a energia dissipada entre t = 0 e um instante t muito grande é:

$\small E_{resistor}=\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon^2}{R}e^{-2t/RC}dt \\\\ \Rightarrow \ E_{resistor}=\frac{\varepsilon^2}{R}\left [ \frac{e^{-2t/RC}}{-\frac{2}{RC}} \right ]_{0}^{\infty} \\\\ \Rightarrow \ E_{resistor}=\frac{\varepsilon^2}{R}\left [ \frac{CR}{2} \right ] \\\\ \Rightarrow \ \boxed{E_{resistor}=\frac{C\varepsilon^2}{2}}$

Assim, temos de fato

$\small \boxed{E_{capacitor}=E_{resistor}}$

o que prova que a energia armazenada no capacitor é igual à energia total dissipada pelo resistor.

por **Robson Jr.** Seg 10 Jul 2017, 22:09

Agora que eu me toquei: Tópicos de Física é um livro de ensino médio. Vamos pensar de um jeito mais simples, então.

Repito minha argumentação inicial do post anterior: você sabe que, quando o capacitor estiver completamente carregado, a ddp entre as placas dele vai ser a própria fem ε. Nesse caso, a energia armazenada nesse capacitor vale:

$\small E_{capacitor}=\frac{C\varepsilon^2}{2}$

Agora pense por outro lado: quando está completamente carregado, o capacitor armazena em cada placa uma carga de módulo Q = Cε. Se toda essa carga foi parar no capacitor, então toda a carga, em algum momento, atravessou a fem ε do gerador. Isso significa que o gerador entregou pro circuito uma energia total de:

$\small E_{fornecida}=Q_{total}*\varepsilon \\ \Rightarrow \ E_{fornecida} = C\varepsilon*\varepsilon=\boxed{C\varepsilon^2}$

Num circuito simples como o da figura, qualquer energia entregue pela fem ao circuito só pode ter dois destinos: ou é armazenada no capacitor, ou é dissipada pelo resistor.

Mas ora, se a ddp entregou Cε², e no fim eu só tenho Cε²/2 no capacitor, então necessariamente:

$\small E_{resistor}=E_{fornecida}-E_{capacitor} \\ \Rightarrow \ E_{resistor}=C\varepsilon^2-\frac{C\varepsilon^2}{2} \\ \Rightarrow \ \boxed{E_{resistor}=\frac{C\varepsilon^2}{2}}$

Pois é:

$\small \boxed{E_{resistor}=E_{capacitor}}$