valores Máximos e Mínimos - Trigonometria

determine os valores máximo e mínimo de y = sen x + 2 cos x

Podemos reescrever:

y = √(1²+2²)*sin ( θ + x )
y = √(5)*sin ( θ + x )

Máximo :√5
Mínimo : - √5

Outro modo:

y = senx + 2.cosx ---> Derivando:

y' = cosx - 2.senx ---> y' = 0 ---> Valores máximos ou mínimos

0 = cosx - 2.senx --> 2.senx = cosx ---> senx/cosx = 1/2 ---> sen²x/cos²x = 1/4 ---> 4.sen²x = 1 - sen²x

5.sen²x = 1 ---> sen²x = 1/5 ---> senx = ± √5/5 ---> cosx = ± 2.√5/5

Para senx = +  √5/5 ---> Máximo
Para sen x= -  √5/5 ---> Mínimo

Complete

oi Elcioschin Bom dia
 Muito obrigada pela ajuda. Completei o exercício, mas creio q há um engano. Não está trocado o mínimo e o máximo: sen negativo e cos negativo, não seria mínimo?

Você está certa, está trocado sim.

ebaaaa, isso quer dizer que terminei certinho. Obrigada pela ajuda. Valeu!!!!!

igorrudolf escreveu:Podemos reescrever:

y = √(1²+2²)*sin ( θ + x )
y = √(5)*sin ( θ + x )

Máximo :√5
Mínimo : - √5

Alguém pode me explicar o que foi feito aqui?

Boa noite.

y = sen(x) + 2cos(x)

O que o colega Igor fez foi utilizar a soma de arcos. Imagine um triângulo com catetos 1 e 2. Sua hipotenusa será √5. O triângulo existe, pois satisfaz a desigualdade triangular.

O ângulo entre o cateto de lado 1 e a hipotenusa será o ângulo B. Então:

sen(B) = 2/√5
cos(B) = 1/√5

Então, multiplicando e dividinho a expressão original por √5, teremos:

√5 *[ (1/√5)*sen(x) + (2/√5)*cos(x) ]

√5 *[ cos(B)*sen(x) + sen(B)*cos(x) ]

√5 * sen(x + B)

Como -1 <= sen <= 1, então

max = √5
min = -√5

De modo geral, dado que

y = a*sen(x) + b*cos(x)

Você pode fazer a transformação:

y = c * sen(x + t), onde

c = √(a² + b²)
sen(t) = b/c
cos(t) = a/c

Muito bom, valeu.

Trata-se do Truque do Triângulo Retângulo para a = 1 e b = 2:

https://pir2.forumeiros.com/t150465-o-truque-do-triangulo-retangulo