ITA Equação Logarítmica

por Camel Dom 12 Fev 2017, 22:33

Se alguém me responder agradeço desde já,

Determine o(s) valor(es) que satisfaça(m)
Log de (6x^2 + 23x + 21) na base (2x+3) = 4 - Log de (4x^2 + 12x +9) na base (3x + 7)

por PedroCunha Dom 12 Fev 2017, 22:57

Boa noite.

Observe que:

\\ \begin{cases} 6x^2+23x+21 = (2x+3) \cdot (3x+7) \\ 4x^2+12x+9 = (2x+3)^2 \end{cases}

Então:

\\ \log_{2x+3} (6x^2+23x+21) = 4 - \log_{3x+7} (4x^2+12x+9) \therefore \\\\ \log_{2x+3} [ (2x+3) \cdot (3x+7) ] + \log_{3x+7} (2x+3)^2 - 4 = 0 \therefore \\\\ 1 + \log_{2x+3} (3x+7) + 2 \cdot \log_{3x+7} (2x+3) - 4 = 0 \therefore \\\\ \frac{\log_{3x+7} (3x+7)}{\log_{3x+7} (2x+3)} + 2 \cdot \log_{3x+7} (2x+3) - 3 = 0

As condições de existência são:

\\ \begin{cases} 2x+3 > 0 \therefore x > -\frac{3}{2} \\ 3x+7 > 0 \therefore x > -\frac{3}{7} \\ 3x+7 \neq 1 \therefore x \neq -2 \end{cases}

Ou seja, x > -\frac{3}{2} .

Fazendo agora \log_{3x+7} (2x+3) = y , temos:

\\ \frac{1}{y} + 2y - 3 = 0 \therefore 2y^2 - 3y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3 \pm 1}{4} \therefore y_1 = 1 \text{ ou } y_2 = \frac{1}{2}

Portanto:

\\ \begin{cases} \log_{3x+7} (2x+3) = 1 \therefore 3x+7 = 2x+3 \therefore x = -4 \\\\ \log_{3x+7} (2x+3) = \frac{1}{2} \therefore 4x^2+12x+9 = 3x+7 \therefore 4x^2+9x+2 = 0 \Leftrightarrow x_1 = -2 \text{ ou } x_2 = -\frac{1}{4} \end{cases}

Pelas condições de existência, vemos que a única solução é \boxed{\boxed{ x = -\frac{1}{4} }}

É isso.

Abraço,
Pedro.