ITA-SP CAPACITANCIA

Dois capacitores em série, de capacitância C1 e C2, respectivamente, estão sujeitos a uma diferença de potencial V. O capacitor de capacitância C1 tem carga Q1 e está relacionado com C2 através de C2 = xC1, sendo x um coeficiente de proporcionalidade. Os capacitores carregados são então desligados da fonte e entre si, sendo a seguir religados com os respectivos terminais de carga de mesmo sinal. Determine o valor de x para que a carga Q2 final do capacitor de capacitância C2 seja Q1/4.

Gabarito, no meu livro: x = 1/7

C1 série com C2 --> Ce =C1.C2/(C1 + C2) --> Ce = C1.(x.C1)/(C1 + x.C1) --> Ce = [x/(x + 1)].C1

Seja Q carga total e U a tensão total (ao invés de V, para não confundir com o símbolo de volt):

Q = Ce.U ---> Q =  [x/(x + 1)].C1.U

Como os capacitores estão em série Q1 = Q2 = Q

Tensão U1 e U2 dos capacitores C1 e C2:

Q1 = C1.U1 ---> [x/(x + 1)].C1.U = C1.U1 ---> U1 = U.x/(x + 1)

Q2 = C2.U2 ---> [x/(x + 1)].C1.U = x.C1.U2 ---> U2 = U/(x + 1)

Ligá-los com os terminais de mesmo sinal significa ligá-los em paralelo.

Isto significa que, após o equilíbrio teremos:

a) U'1 = U'2 ---> Q'1/C1 = Q'2/C2 ---> Q'1/C1 = Q'2/x.C1 ---> Q'2 = x.Q'1 ---> I

b) Q'1 + Q'2 = Q

c) Q'2 = Q1/4 ---> Q'2 = Q/4

Basta agora resolver o sistema

Elcioschin escreveu:a) U'1 = U'2 ---> Q'1/C1 = Q'2/C2 ---> Q'1/C1 = Q'2/x.C1 ---> Q'2 = x.Q'1 ---> I

b) Q'1 + Q'2 = Q

c) Q'1 = Q1/4 ---> Q'1 = Q/4

Basta agora resolver o sistema

Não estou conseguindo fechar as contas   as dúvidas me norteiam. 

São as seguintes: 

i) U'1 = U'2 = U ??

ii) Onde estou errando: Q'2 = Q1/4 .: x.Q'1 = Q/4 .: x.C1.U'1 = C1xU/(1+x)4 .: U'1 = U/4 + 4x .: (Se U'1 = U) .: 4 + 4x = 1
x = -3/4

iii) Q'2 = Q/4 .: (Q = Q'1 + Q'2) .: 4Q'2 = Q'1 + Q'2 .: Q'1 = 3Q'2 .: Q'1 = 3xQ'1 .: x = 1/3

Desde já, agradeço a atenção.

Thomas

Eu errei na digitação da última linha (o correto é Q'2 ao invés de Q'1). Já editei em vermelho. Você já tinha corrigido!

i) Na segunda parte NÃO existe mais a fonte de tensão U. Os dois capacitores, cada um com carga Q e potenciais U1 e U2, são ligados em paralelo.

Assim o correto é apenas U'1 = U'2 (sem igualar com U). Vão circular cargas de um capacitor para o outro até o equilíbrio de tensão ser estabelecido

ii) Não podemos garantir, a priori, que Q'2 = x.Q'1. Vamos pois calcular Q'2 e Q'1:

Q'2 = Q/4 ---> Q'2 = (1/4).Q ---> Q'2 =  (1/4).[x/(x + 1)].C1.U

Conservação de cargas:

Q'1 + Q'2 = Q ---> Q'1 + (1/4).[x/(x + 1)].C1.U = [x/(x + 1)].C1.U --->

Q'1 = (3/4).[x/(x + 1)].C1.U

Note que Q'1 = 3.Q'2

Tente prosseguir com U'1 = U'2

Elcioschin escreveu:Tente prosseguir com U'1 = U'2

Continuo encontrando x = 1/3

U'1 = U'2

Q'1/C1 = Q'2/C2 .: Q'1 = Q'2/X .: Q'2 = Q/4
3Q'2 = Q'2/X
3/4Q = Q/4X
12X = 4
X = 1/3

Onde estou errando?

Não vejo nenhum erro. Pode ser que o gabarito do seu livro esteja errado.

Um outro modo de chegar lá, parecido com o seu:

Q'1/C1 = Q'2/C2

3.Q'2/C1 = Q'2/x.C1

3 = 1/x ---> x = 1/3

Desculpem reviver este tópico, mas acredito que a resposta correta seja realmente x=1/7. Vejamos, quando o capacitor está em série a carga que passa por eles é a mesma e então U1+U2=U em que Q=Q1=Q2, C1=Q/U1 e C2=Q/U2. Em paralelo temos C1=Q1'/V' e C2=Q2'/V'. Da conservaçao de cargas vem que C1V1+C2V2=C1V'+C2V', então a carga total final é Q1'+Q2'=2Q. Considerando 2Q a reposta é x=1/7.