Uma pirâmide regular

por Daedalus00 Sex 05 Ago 2016, 19:32

Uma pirâmide regular triangular tem apótema medindo 4√3 cm e aresta da base medindo 12 cm. Calcule:
a) A tangente do ângulo α que uma face lateral forma com o plano da base

**Não consegui colocar a imagem mas acho que dá pra visualizar pela descrição que fiz.

por **Elcioschin** Sex 05 Ago 2016, 21:47

L = 12 ---> a = 4.√3

h = altura da base ---> h = 12.(√3/2) ---> h = 6.√3 ---> h/3 = 2.√3

H = altura da piramide ---> H² = a² - (h/3)²

tgθ = H/(h/3) = 3.H/h

por Daedalus00 Sex 05 Ago 2016, 22:27

Elcioschin escreveu:L = 12 ---> a = 4.√3

h = altura da base ---> h = 12.(√3/2) ---> h = 6.√3 ---> h/3 = 2.√3

H = altura da piramide ---> H² = a² - (h/3)²

tgθ = H/(h/3) = 3.H/h

Nesse problema então eu precisaria ter conhecimento da formula da altura do triangulo equilátero e seu apótema que no caso seria 1/3 da altura, ok? Não tinha certeza se o apótema no triangulo equilátero era 1/3 da altura xD

por **Medeiros** Sáb 06 Ago 2016, 01:56

Daedalus,
fiz um desenho da resolução do Élcio.
G é o baricentro da base. O ângulo pedido é aquele entre o apótema da face lateral e a mediana da base.
Uma pirâmide regular Fjfh94

por Daedalus00 Sáb 06 Ago 2016, 09:20

Medeiros escreveu:Daedalus,
fiz um desenho da resolução do Élcio.
G é o baricentro da base. O ângulo pedido é aquele entre o apótema da face lateral e a mediana da base.

Eu só não entendi o 6√3 passando pro h/3=2√3 , porque tem q dividir por 3? Não me lembro dessa relação. O resto eu entendi =)

por rihan Sáb 06 Ago 2016, 11:07

1) Dados:

Pirâmide: Regular Triangular

Apótema: 4√3 cm

Aresta da base:12 cm

2) Pede-se:

A tangente do ângulo α que uma face lateral forma com o plano da base.

3) Sabendo-se:

a) Pirâmide Regular Triangular: É reta e o triângulo da base é equilátero.

b) Apótema de Pirâmide Regular: altura de qualquer triângulo de suas faces

c) Triângulo equilátero:

Altura = lado.√(3)/2

Alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes relativas aos vértices são congruentes.

d) Triângulo qualquer:

As medianas se interceptam em um ponto chamado BARICENTRO.

O baricentro divide qualquer mediana em dois segmentos na razão 2:1 (maior = 2m/3 ; menor = m/3)

e) Tangente de ângulo agudo interno de um triângulo retângulo:

tan(α) = Cateto Oposto / Cateto Adjacente

f) Cosseno de ângulo interno de um triângulo retângulo:

cos(α) = Cateto Adjacente / Hipotenusa

g) Trigonometria:

sen²(α) + cos²(α) = 1

tan(α) = sen(α)/ cos(α)

4) Tem-se:

Uma pirâmide regular MZz5W3Qf4z8NaH8Pwrkt5fqeIp4Ufqz+Dm+6CnD4ZG5g8Oj8B5afDgsx6upYqnhBn4alsvFIX2YiUQNXzyldjlVPGUcMLOAVHDhqfdnpCUCYuvgpPu9yykiqeEGW3uCzgA0NIOd20UO4EqnhJdUMVToguqeEp0QRVPiS7+P2Qbkfrzli7XAAAAAElFTkSuQmCC

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Apótema := VH
Altura da Pirâmide := VO

Altura do triângulo base := AH

cos(α) = OH / VH

OH = AH/3

AH = BC √(3)/2

OH = BC √(3)/6

cos(α) = OH / VH = ( 12 √(3)/6 ) / 4√(3) = 2√(3) / 4√(3) = 1/2

sen(α) = √( 1 - cos²(α) ) = √( 1 - 1/4 ) = √(3/4) = √(3)/2

tan(α) = sen(α) / cos(α) = √(3)

5) Com prática, ter-se-ia, de cabeça:

cos(α) = OH / VH = 1/2 → α = 60° → tan(60°)= √(3)