Inequações irracionais - Aref Vol.1 (2)

por Heitorvn Qui 09 Jun 2016, 15:37

Resolva a inequação

$(1+x)\;\sqrt{x^2+1}\;> \; {x^2-1}$

Eu tive uma certa dificuldade para resolver essa questão porque não sei se é válido expandir o produto notável do segundo membro, transfomando em

$(1+x)\;\sqrt{x^2+1}\;> \; (x-1)(x+1)$

e depois dividir os dois membros por (x+1) e mantendo o sinal da desigualdade, já que não sei se (x+1) é um número positivo. Já tentei proceder de algumas formas, mas sem sucesso. Muito obrigado desde já pela ajuda.

por **ivomilton** Qui 09 Jun 2016, 17:30

Heitorvn escreveu:Resolva a inequação

$(1+x)\;\sqrt{x^2+1}\;> \; {x^2-1}$

Eu tive uma certa dificuldade para resolver essa questão porque não sei se é válido expandir o produto notável do segundo membro, transfomando em

$(1+x)\;\sqrt{x^2+1}\;> \; (x-1)(x+1)$

e depois dividir os dois membros por (x+1) e mantendo o sinal da desigualdade, já que não sei se (x+1) é um número positivo. Já tentei proceder de algumas formas, mas sem sucesso. Muito obrigado desde já pela ajuda.

Boa tarde, Heitor.

(1 + x) √(x² + 1) > x² – 1

Como (1 + x) é o mesmo que (x + 1), vem:

√(x² + 1) > (x² – 1)/(x + 1)
√(x² + 1) > x – 1

Eleve ambos os membros ao quadrado:
x² + 1 > x² - 2x + 1
0 > -2x
-2x < 0

Multiplicando por(-1), fica:
2x > 0
x > 0/2
x > 0 ..... (I)

Por outro lado, deve-se ter:
1 + x > 0
x > –1 ... (II)

Entre (I) e (II) prevalece:
x > –1

Um abraço.

por Heitorvn Qui 09 Jun 2016, 19:49

Boa noite, Sr. Ivomilton. Agradeço muito pela resolução.

A sua resolução foi muito similar à minha, exceto pela condição 1+x ≥ 0 que não impus. Apesar do gabarito do livro ser x > -1, eu creio que sua resposta esteja correta, já que já encontrei outros erros nesse livro.

De qualquer forma, muito obrigado pela ajuda e boa noite.

por Heitorvn Qui 09 Jun 2016, 20:32

Só mais uma observação:

Quando o senhor escreveu:

Eleve ambos os membros ao quadrado:
x² + 1 > x² - 2x + 1
0 > -2x
-2x < 0
x < 0/-2
x < 0

Quando dividimos ambos os membros de uma inequação por um número negativo (nesse caso, -2), o sentido da desigualdade é invertido. Logo, não seria:

-2x < 0 <=> x > 0 ?

por **ivomilton** Qui 09 Jun 2016, 23:08

Heitorvn escreveu:Só mais uma observação:

Quando o senhor escreveu:

Eleve ambos os membros ao quadrado:
x² + 1 > x² - 2x + 1
0 > -2x
-2x < 0
x < 0/-2
x < 0

Quando dividimos ambos os membros de uma inequação por um número negativo (nesse caso, -2), o sentido da desigualdade é invertido. Logo, não seria:

-2x < 0 <=> x > 0 ?

Boa noite, Heitor.

O amigo tem razão, de modo que editei minha resolução e a retifiquei. Dá uma olhada.

Um abraço.

por Heitorvn Sex 10 Jun 2016, 19:31

Obrigado novamente. Só mais uma coisa, se não for abusar muito: no último passo, a interseção entre x > 0 e x > -1 não seria x > 0? Minha resposta deu x > 0, e talvez essa intersecção seja o motivo pelo o qual errei, mas não sei qual é o erro.

Muito obrigado e um abraço.

por **ivomilton** Sex 10 Jun 2016, 20:02

Heitorvn escreveu:Obrigado novamente. Só mais uma coisa, se não for abusar muito: no último passo, a interseção entre x > 0 e x > -1 não seria x > 0? Minha resposta deu x > 0, e talvez essa intersecção seja o motivo pelo o qual errei, mas não sei qual é o erro.

Muito obrigado e um abraço.

Boa noite, Heitor.

(1 + x) √(x² + 1) > x² – 1

Se fizermos, por exemplo, x=-0,9, obteremos o seguinte resultado:

(1 - 0,9) √[(-0,9)² + 1] > (-0,9)² - 1

(0,1) √(0,81 + 1) > 0,81 - 1

(0,1) Se fizermos, por exemplo, x=-0,9, obteremos o seguinte resultado:

(1 - 0,9) √[(-0,9)² + 1] > (-0,9)² - 1

(0,1) √(0,81 + 1) > 0,81 - 1

(0,1) √(1,81) > -0,19

0,1 * 1,34 > -0,19

0,134 > -0,19

Note que esta é, também, uma inequação válida.

Foi por essa observação que achei por bem incluir os valores de x entre -1 e 0.

Concorda?

Um abraço.