Racionalização

Como faz pra racionalizar essa fração?


Numerador: (x² - (x² - 3x + 2)

Denominador: √2(x√2/2 + 2)(x - 2)[2x² - (4√2 + 2)x + 4√2]

Corrigindo: numerador é (x^2 - 8 )(x^2 - 3x + 2)

Este é trabalhoso:

No numerador:

x² - 8 = x² - (2.√2)² = (x - 2.√2).(x + 2.√2)
x² - 3x + 2 = (x - 1).(x - 2)

No denominador:

√2.(x.√2/2 + 2) = x + 2.√2
(x - 2)

Agora a parte mais complicada: calcular as raízes de 2x² - (4√2 + 2)x + 4√2 = 0

∆  = b² - 4.a.c ---> ∆ = (4√2 + 2)² - 4.2.4√2 ---> ∆ = 32 + 16.√2 + 4 - 32.√2 --->

∆ = 36 - 16.√2 ---> ∆ = 4.(9 - 4.√2) ---> ∆ = 4.(9 - √32) ---> √∆ = 2.√(9 - √32)

Temos ai um radical duplo (se não conhecer pesquise) com A = 9 e B = 32

A² - B = 9² - 32 ---> A² - B = 81 - 32 ---> A² - B = 49 ---> OK: quadrado perfeito.

Soluções:

1) [A + √(A² - B)]/2 = (9 + 7)/2 = 8 ---> √8 = 2.√2
2) [A - √(A² - B)]/2 = (9 - 7)/2 = 1 ---> √1 = 1

√(9 - √32) = 2.√2 - 1

√∆ = 2.√(9 - √32) = 2.(2.√2 - 1) = (4√2 - 2)

x = (- b ± √∆)/2

x' = [(4√2 + 2) +  (4√2 - 2)]/2.2 ---> x' = 2.√2

x" = [(4√2 + 2) -  (4√2 - 2)]/2.2 ---> x' = 1

Finalmente, a última função do denominador, fatorada é:

2x² - (4√2 + 2)x + 4√2 = 2.(x - 2.√2).(x - 1)

Simplificando, obtemos a solução: 1/2