Semelhança de triângulos

por Carlos Naval Ter 15 Mar 2016, 11:30

ABCD é um trapézio retângulo de altura AB = 32cm, e bases AD = 6cm e BC = 10cm. P é um ponto sobre AB, de forma que o ângulo CPD vale 90. Calcule PM, sendo M médio de AB.

Gabarito: 14 cm

Desde já agradeço

por **ivomilton** Ter 15 Mar 2016, 12:48

Carlos Naval escreveu:ABCD é um trapézio retângulo de altura AB = 32cm, e bases AD = 6cm e BC = 10cm. P é um ponto sobre AB, de forma que o ângulo CPD vale 90. Calcule PM, sendo M médio de AB.

Gabarito: 14 cm

Desde já agradeço

Boa tarde, Carlos Naval.

AP = x
PB = 32-x

(PD)² = 6² + x² = x² + 36
(PC)² = (32-x)² + 10² = 1024 - 64x + x² + 100 = x² - 64x + 1124
(DC)² = 32² + (10-6)² = 1024 + 16 = 1040

(PD)² + (PC)² = (DC)²
x²+36 + x² - 64x + 1124 = 1040
2x² - 64x + 1160 - 1040 = 0
2x² - 64x + 120 = 0
x² - 32x + 60 = 0

Resolvendo esta última por Bhaskara, vem:
x' = 30
x" = 2

Assim sendo, temos:
AP = 30
AM = 32/2 = 16
PM = 30 - 16
PM = 14

Um abraço.