Transformação em produto

por altmath Seg 14 Mar 2016, 16:03

Resolva a equação:

Transformação em produto Httmpj

por **Elcioschin** Seg 14 Mar 2016, 22:49

sen7x - cos3x = 0

sen7x - sen(90º - 3x) = 0

Fórmula: senp - senq = 2.cos[(p + q)/2].sen[(p - q)/2] --> p = 7x, q = 90º - 3x

sen7x - sen(90º - 3x) = 0

2.cos[(7x + 90º - 3x)/2].sen[(7x + 3x - 90º)/2] = 0

2.cos(2x + 45º).sen(5x - 45º) = 0

1) Temos duas possibilidades:

1.1) 2x + 45º = 90º ---> 2x = 45º ---> x = 22,5º

1.2) 2x + 45 = 270º ---> 2x = 225º ---> x = 112,5º

2) Temos seis possibilidades:

2.1) 5x + 45º= 0 ---> x = - 9º ---> Não serve

2.2) 5x + 45º = 180º ---> 5x = 135º ---> x = 27º

2.3) 5x + 45º = 360º ---> x = 63º

2.4) 5x + 45º = 540º ---> x = 99º

2.5) 5x + 45º = 720º ---> x = 135º

2.6) 5x + 45º = 900º ---> x = 171º

Por favor, confira as contas

por altmath Ter 15 Mar 2016, 09:09

Resposta do livro :

{9°,22,5°,81°,112,5°,45°}

o livro deve ter errado

por **Elcioschin** Ter 15 Mar 2016, 10:02

altmath

Você não está respeitando a Regra XI do fórum: devia ter postado o gabarito JUNTO com o enunciado original.

Por favor, leia todas as Regras e siga-as nas próximas postagens!

por altmath Ter 15 Mar 2016, 20:56

blzz!!

por **Carlos Adir** Qua 16 Mar 2016, 20:53

Outra maneira, segue abaixo:
$\mathrm{cos(3x)=sin(3x+\dfrac{\pi}{2})}$
Usando protasferese:
$\\ \mathrm{S=sin(7x)-sin(3x+\dfrac{\pi}{2})=2cos\left(\dfrac{7x+\left(3x+\frac{\pi}{2} \right )}{2} \right )\cdot sen\left(\dfrac{7x-\left(3x+\frac{\pi}{2} \right )}{2} \right )} \\ \mathrm{S = 2 cos \left(5x + \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot sen \left(2x - \dfrac{\pi}{4} \right )}$
Para o valor dessa expressão ser nulo, basta que um dos dois sejam nulos, ou seja:
$\\ \begin{cases}\mathrm{5x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}+k\pi} \\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{2x-\dfrac{\pi}{2} = k\pi} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x = \dfrac{\dfrac{\pi}{4}+k\pi}{5}}\\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{x = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}} \end{cases}$
Podemos verificar se o segundo é subconjunto do primeiro, para então não ser necessário escrever o primeiro:
$\mathrm{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+k_1\pi}{5}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k_2\pi}{2} \Rightarrow 1+4k_1=5+10k_2 \Rightarrow 2k_1=2+5k_2}$
Ou seja, isso significa que não.
Agora, temos as possíveis soluções:
$\mathrm{S=\left\{\cdots, \ -45^o, -27^o, \ 45^o, \ 81^o, \ 117^o, \ 135^o, \ 153^o, \ 189^o, \ \ 225^o, \cdots \right \}}$