Mostre que as alturas de um triângulo

por jose roberto Qui 02 Dez 2010, 20:11

Mostre que as alturas de um triângulo se encontram em um mesmo ponto chamado ortocentro.

Very Happy

por **adriano tavares** Sex 03 Dez 2010, 02:38

Olá, jose roberto.

Mostre que as alturas de um triângulo Teoremadeceva

Há algumas maneiras de se provar que as alturas de um triângulo se encontram em um mesmo ponto.Uma dessas maneiras é utilizar o teorema de Ceva, que diz o seguinte:

As três cevianas AD, CF e BE serão concorrentes se e somente se,

$\frac{AF}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{CE}{CA}=1$

$AB=c\\\\BC=a\\\\CA=b$

Analisando os triângulos da figura teremos:

$\Delta ADC \Rightarrow DC=bcosC\\\\\Delta BDA\RightarrowBD =ccosB\\\\\Delta AFC\Rightarrow AF=bcosA\\\\\Delta CFB \Rightarrow FB=acosB\\\\\Delta BEC \Rightarrow EC=acosC\\\\\Delta ABE \Rightarrow AE=ccosA$

Utilizando o teorema de Ceva teremos:

$\frac{bcosA}{acosB}.\frac{ccosB}{bcosC}.\frac{acosC}{ccosA}=1$

Logo, as alturas se encontram em um mesmo ponto.

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