Potência

Para os inteiros a e b definimos a^* b=a^b + b^a. Se 2^* x=100, a soma dos algarismos de (4x)^4 é igual a:
a)20
b)25
c)30
d)35
e)40

2^* x=100
2^x + x^2 = 100
2^x = 10² - x²
2^x = (10 - x)(10 + x)   (I)

Sendo x um inteiro, temos que 2^x > 0.
Primeiro vamos considerar x sendo positivo:

Sendo 2^x maior que zero, e 10 + x também maior que zero, devemos ter 10 - x > 0 → x < 10.

É fácil ver que 10 - x e 10 + x irão ser da forma 2^a e 2^b, portanto, olhando primeiro para o 10 - x, os possíveis valores para x são x = 2; 6; 8; 9, substituindo esses valores em 10 + x o único valor que faz 10 + x ser uma potencia de 2 é o 6.

Agora vamos para o caso de x ser negativo, x é da forma x = -k, sendo k um inteiro positivo:

2^x = (10 - x)(10 + x)
2^(-k) = (10 - (-k))(10 + (-k))
1/2^k = (10 + k)(10 - k)

Sendo k inteiro positivo, é fácil ver que não existe valor para k satisfazendo a relação acima.

Com isso tiramos que o único valor possível para x é igual a 6, portanto:

(4x)^4 = (4.6)^4 = 331776, cuja soma dos algarismos é igual a 3+3+1+7+7+6 = 27.

Bem, o meu deu 27, infelizmente não tem essa alternativa, mas mesmo assim deixo minha resolução.