Mecânica - Moysés

por Rafarobb 17/6/2015, 3:41 pm

Olá pessoal. Uma dúvida em uma questão retirada do livro Física Básica vol.1 do Moysés-Cap.8 Conservação do Momento.
Tentei resolver a parte (A) mas a resposta não bate com a do gabarito. Podem ajudar?

Moysés -"Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo de condensação, que é uma partícula de poeira, de raio desprezível. A gota cai através da atmosfera, que supomos saturada de vapor de água, e vai aumentando de volume continuamente pela condensação, que faz crescer a massa proporcionalmente à superfície da gota. A taxa Z de crescimento da massa por unidade de tempo e de superfície da gota é constante. (a) Mostre que o raio r da gota cresce linearmente com o tempo.
(b) Mostre que a aceleração da gota, decorrido um tempo t desde o instante em que ela começou a se formar, é dada por

(dv / dt) = -g -3(v/t)

onde v é a velocidade da gota no instante t (desprezando o efeito da resistência do ar).
(c) Mostre que esta equação pode ser resolvida tomando v =at, e determine a constante a. Que tipo de movimento resulta para a gota?"

por **Euclides** 17/6/2015, 5:12 pm

O que não estou conseguindo compreender é o motivo da aceleração ser diferente de g, já que pede-se para desprezar a resistência do ar.

Quanto à linearidade do crescimento do raio:

$\\M=V\times \rho\;\;\to\;\;M=\frac{4}{3}\pi r^3\times \rho\\\\\frac{dM}{dt}=4\pi r^2\cdot\frac{dr}{dt}\cdot \rho\;\;\to\;\frac{dM}{dt}=A\cdot\frac{dr}{dt}\cdot \rho\;\;\;\text{(proporcional \`a \'area)}\\\\\begin{cases}\frac{dM}{dt}=\text{taxa constante de varia\c{c}\~ao da massa}\\4\pi r^2=\text{\'area no instante}\\\rho=\text{densidade, constante}\\\frac{dr}{dt} =\text{taxa de varia\c{c}\~ao do raio (constante)}\end{cases}$

os dois membros da equação são constantes, logo,

$\\\frac{dr}{dt}=k\;\;\to\;\;r=kr+r_0\;\text{(uma varia\c{c}\~ao linear)}$

por Rafarobb 18/6/2015, 2:35 pm

A aceleração vem da variação da quantidade de movimento do sistema (incremento de massa), não?

por luizhsj 20/6/2016, 3:49 pm

Da conservação do momento, F=\frac{dP}{dt}=\frac{d(mv)}{dt} (I) A única força que age sobre a partícula é a força peso F=-mg . Usando a regra da cadeia em (I) e substituindo, segue: -mg = m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt} \therefore \frac{dv}{dt}= -g - \frac{v}{m}\cdot\frac{dm}{dt} (II) Mas, substituindo o resultado da letra (a) da resposta anterior tem-se: \frac{dm}{mdt}=\frac{A\cdot\frac{dr}{dt}\cdot p}{m} = \frac{3dr}{rdt}. (III)(Substituimos a área e a densidade por suas expressões envolvendo o raio). Da resposta do gabarito do livro, r=Zt \therefore dr=Zdt \Rightarrow \frac{3dr}{rdt}= \frac{3Z}{r}=\frac{3}{t} . Substituindo em (III) e em seguida em (II)chegamos a \frac{dv}{dt}=-mg - 3\frac{v}{t}

por 3TOM 15/11/2016, 11:46 am

Como eu chego em r=Zt???

por Edsonrs 15/11/2016, 2:06 pm

As equações do movimento são:

dv(t)/dt = -g-3*(v(t)/t);

v(t) = c1/t^3-(g*t)/4;

x(t) = c2-c1/(2*t^2)-(g*t^2)/8;

O velho e bom Galileu deve estar todo arrepiado, Newton enfartou.