Eletrostática - teórica

Uma  esfera  condutora  de  raio  R  possui  no  seu  interior  duas
cavidades  esféricas,  de  raio  a  e  b,  respectivamente,  conforme
mostra a figura. No centro de uma cavidade há uma carga puntual
q_a  e no centro da outra, uma carga também puntual q_b , cada qual
distando do centro da esfera condutora de x e y, respectivamente.


Gostaria que alguém desenhasse a distribuição de cargas nas bordas para conferir se está como o meu. Não tenho o gabarito.

up

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A) Seja d a distância entre as cargas. Pela Lei dos Cossenos: d² = x² + y² - 2.x.y.cosθ

F = k.Qa.Qb/d²---> F = k.Qa.Qb/(x² + y² - 2.x.y.cosθ

ko é a constante do ar (ou do vácuo) ---> Acontece que entre Qa e Qb existem dois meios diferentes, logo NÃO pode ser ko. (O k é a resultante da composição do ar e do material da esfera)

Logo, não pode ser alternativa A

B) Falsa, pois existe uma força

C) Sim, falta informar o k do material da esfera ---> Correta

D) e E) Falsas: a carga externa não influencia a força entre Qa e Qb pois a esfera condutora funciona como uma blindagem eletrostática (gaiola de Faraday)

Elcioschin, eu não tinha gabarito até agora, mas marquei B e acabei de achar em outras duas fontes que é B mesmo.

A B é correta porque qa e qb induzem -qa e -qb em suas respectivas cavidades e, pela lei de Gauss, temos que E = 0 N/C e portanto não há força entre elas.

A C é falsa justamente porque é possível determinar a força: 0 N.

O que me deixou pensativo é a D. Eu raciocinei que -qa e -qb induzirão uma carca qa + qb na esfera condutora grande. Dessa força, a carga total interna não é nula e haverá uma força agindo na carga qc. Uma dúvida quanto a isso já foi sanada; a outra é: podemos garantir que a distribuição de cargas na condutora será uniforme pela sua superfície?

Sim, pode-se garantir isto.
Mas dentro do material da esfera o campo elétrico será nulo.

Mas por que podemos garantir que será uniforme?

A esfera está em equilíbrio eletrostático (não existem cargas se movimentando dentro do material dela).
A esfera tem uma forma simétrica (não tem pontas)
Num condutor em equilíbrio o potencial elétrico é o mesmo em todos os pontos do material da esfera.
Todos os pontos da superfície externa de um condutor pertencem ao mesmo, logo, todos os pontos da superfície externa possuem o mesmo potencial.
Logo a superfície externa de qualquer condutor em equilíbrio é uma superfície equipotencial.
Logo, como a esfera é simétrica, as cargas na superfície distribuem-se uniformemente.

Se fosse um corpo com pontas (um para-raio por exemplo) a distribuição não é uniforme (a densidade superficial de cargas nas pontas é maior)

Mas as cavidades comprometem a simetria da esfera. Por exemplo, sabemos que a carga induzida na superficie da cavidade é uniforme. Entretando, as bordas da esfera não equidistam da superfície da cavidade. Dessa forma, faria sentido que as partes mais próximas à cavidade fossem mais induzidas que as distantes. Como quando aproxima-se um bastão de uma esfera neutra para induzí-la. A parte mais próxima do bastão tem maior densidade de carga e, mesmo assim, o potencial da esfera continua sendo constante. O que acha?

As cargas induzidas em cada cavidade são diferentes pois dependem do valor da cada carga. E as distâncias de cada cavidade à superfície externa são diferentes.

Entretanto isto só influencia na simetria interna. Na superfície externa valem as regras que eu expliquei acima