Aritmética

por epcariano Qua 20 maio 2015, 15:35

Sendo n um número natural não divisível por 2, e também não divisível por 3 :
A - mostre que n deve ser escrito na forma 6k + 1 ou 6k + 5. (K é elemento natural. )
B - usando ambas formas, justifique a afirmação de que n² - 1 é divisível por 24.

por **Carl Sagan** Qui 21 maio 2015, 00:29

A)
Os restos possíveis na divisão por 6 são: $0,1,2,3,4,5$

Assim, só podemos escrever números inteiros nas formas: $6k, \ 6k+1, \ 6k+2, \ 6k+3,6k+4, \ 6k+5$

Como o número não é divisível por 2 nem por 3, também não é divisível por 6, logo a forma $6k$ não é válida.

Analisando as demais:

$\left\{\begin{matrix} \mathrr{\; \;}6k+1 \Rightarrow Nao \ divisivel \ por \ 6 \ nem \2,3\\ \underset{par}{\underbrace{6k}}+\underset{par}{\underbrace{2}}=Par, \ logo, divisivel \ por \2\\ \mathrr{\; \;}6k+3=3 \cdot (2k+1) \Rightarrow Divisivel \ por \ 3\\ \mathrr{\; \;}6k+4=2 \cdot (3k+2) \Rightarrow Par, Divisivel \ por \ 2\\ 6k+5 \Rightarrow Nao \ divisivel \ por \ 6 \ nem \2,3\\ \end{matrix}\right.$

As únicas formas possíveis são 6k+1 e 6k+5.

B)

Dos produtos notáveis, $(n^{2}-1)=(n+1)(n-1)\\$ ,

Para as duas formas de "n":
$Forma \ 6k+1 \Rightarrow (6k+2) \cdot (6k)\\ \mathrr{\; \; \; \; \;}Forma \ 6k+5 \Rightarrow (6k+6) \cdot (6k+4)$

Nos dois casos n²-1 é divisível por 24.

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