Desigualdade das Médias

por Matheus Aragão. Ter 20 Jan 2015, 17:57

Se 0 < x < 1, o valor máximo de x raiz de 1 - x² (traduzindo: x multiplicado pela raiz quadrada de 1 - x²) é igual a:

O agabrito diz que é 0,5

por Hoshyminiag Qua 21 Jan 2015, 21:34

O enunciado está um pouco confuso. Da próxima vez, utilize o Editor LaTeX.

Pelo o que eu entendi, ele quer o valor máximo de $x\sqrt{1 - x^2}$

Vamos chamar de ''E'' tal expressão

Vamos introduzir o fator externo ''x'':
$x\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{x^2 - x^4}$

Peguemos dois números ''a'' e ''b'' de tal forma que:

$a + b = y$
$a . b = x^2 - x^4$

Através da segunda expressão, podemos ter a = x² ; b = 1 - x², porque: x².(1 - x²) = x² - x^4. Logo, a + b = x² + (1-x²) = 1

Pela desigualdade M.A. ≥ M.G. :

(x² + 1 - x²) / 2 ≥ E ----> E ≤ 1/2

Logo, o valor máximo de E = 0,5

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