Integração

por martinscairo Dom 03 Ago 2014, 19:13

Encontre a integral de [x. sen^(-1) x] dx

por Man Utd Qua 06 Ago 2014, 14:27

Olá

Integre por partes :

$\\\\ u=arc \; senx \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\\\ dv=x \; dx \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\; v=\frac{x^2}{2}$

pela fórmula : $\\\\ \int \; u \; dv=uv-\int \; v \; du$ :

$\\\\\\ \int \; x*arc \; senx \; dx=\frac{x^2arc \; senx}{2}-\frac{1}{2}\int \; \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\; dx$

para integrar $\\\\\\ \int \; \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\; dx$ utiliza a substituição trigonométrica : $\\\\\\ senu=x \;\;\; \rightarrow \;\;\;\ dx=cosu \; du$ :

$\\\\\\ \int \; \frac{sen^2u*cosu}{\sqrt{1-sen^2u}}\; du \\\\\\ \int \; sen^2u \;du \\\\\\ \int \; \left( \frac{1-cos(2u)}{2} \right ) \;du=\frac{u}{2}-\frac{sen(2u)}{4} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{agora retornando a variavel x} \\\\\\ \frac{arc \; senx}{2}-\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}$

logo retornando a fórmula inicial :

$\\\\\\ \int \; x*arc \; senx \; dx=\frac{x^2arc \; senx}{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{arc \; senx}{2}-\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} \right )+C \\\\\\ \int \; x*arc \; senx \; dx=\frac{x^2arc \; senx}{2}-\frac{arc \; senx}{4}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} \right )+C$

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