Determine EF

Bom dia prezados usuários do Pir²!

Na figura abaixo, ABCD é um retângulo, m(BC)=12 e M é o ponto médio de AB. Determine EF.



Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Seja a = m(AB) = m(CD) ----> AM = MB = a/2

Considere um sistema cartesiano com origem em A, AB no eixo X e AD no eixo Y.

1) Equação da reta MC:

Coeficiente angular ----> m = BC/MB ----> m = 12/(a/2) ----> m = 24/a

y - yM = m*(x - xM) ----> y - 0 = (24/a)*(x - a/2) ----> y = (24/a)*x - 12 ---> I

2) Equação da reta BD:

Coeficiente angular ----> m' = - AD/AB ----> m = - 12/a

y - yD = m*(x - xD) ----> y - 12 = (-12/a)*(x - 0) ----> y = -(12/a)*x + 12 ---> II

3) Coordenadas do ponto de encontro das duas retas ----> E(xE, yE):

I = II ---> (24/a)*xE - 12 = - (12/a)*xE + 12 ----> (36/a)*xE = 24 ---> xE = 2a/3

I ---> yE = (24/a)*xE - 12 ---> yE = (24/a)*(2a/3) - 12 ---> yE = 4 ---> EF = 4

Bom dia prezado Elcio!

Excelente solução!! Mas tenho algumas dúvidas. Vamos a elas:

--> Até o cálculo do coeficiente angular da reta MC consegui entender perfeitamente.

A complicação começou aqui: y - yM = m*(x - xM) ----> y - 0 = (24/a)*(x - a/2) ----> y = (24/a)*x - 12 ---> I (referente ao cálculo da equação da reta MC)

A dúvida é: Por que o valor de yM é 0 e o valor de xM é o próprio coeficiente angular da reta MC?

Quanto a equação da reta BD: Por que usa-se o sinal de negativo em AD m' = - AD/AB ?

Acredito que esclarecendo essas minhas dúvidas fica mais fácil de entender a solução.

Aguardo sua atenção,

Pietro di Bernadone

Pietro

Lembre-se que eu convencionei que a origem é o ponto A, o eixo X coincide com a reta AB e o eixo Y com a reta AD.

Logo as coordenadas de TODOS os pontos são:

A(0, 0) ; B (a, 0) , C(a, 12) ; D(0, 12), M(a/2, 0) ; E(xE, yE)

Respondendo suas pergunatas

1) Porque o valor de yM é zero ? ----> Porque o ponto M está sobre o eixo X. Veja coordenada do ponto M acima.

2) Porqe o valor de xM é o próprio coeficiente angular da reta MC ? ---->

O valor de xM = a/2 e o valor do coeficiente angular da reta MC = 24/a.
Assim eles NÃO são iguais !!!!

3) Porque o sinal negativo em m' = - AD/AB ? Porque o ângulo entre a reta BD e o eixo X é maior do que 90º ( e menor que 180º). Lembre-se que o ângulo é medido no sentido anti-horário (ou sentido trigonométrico)a partir do semi-eixo X positivo.