(IME)Equação exponencial

A população de um país no ano t, , é dada, aproximadamente, por , sendo t'=t-1860. L, , , são constantes reais e  é o número de habitantes.

A) Calcule a população do país no ano 2010 sabendo que em 1860, ele tinha 15 milhões de habitantes, em 1895, 18 milhões de habitantes e, em 1930, 20 milhões de habitantes.

B) Ao longo do tempo, a população tenderá a um número finito de habitantes? Justifique sua resposta.

Gabarito:

A)
B)Sim, 

Olá, medock.

Letra A:

Para t = 1860:

t' = 1860-1860 .:. t' = 0:

15 = L/[1 + e^{ λ/α } ] .:. L = 15 + 15e^{ λ/α }  .:. e^{λ/α } = (L-15)/15 ... i

Para t = 1895:

t' = 1895 - 1860 .:. t' = 35

18 = L/[1 + e^{(λ-35)/α)}] .:. L = 18 + 18e^{(λ-35)/α)} .:. e^{λ/α - 35/α} = (L-18)/18 .:. e^{λ/α}/e^{35/α} = (L-18)/18 ... ii

i em ii:

[(L-15)/15]/[(L-18)/18] = e^{35/α} .:. [6L-90]/[5L-90] = e^{35/α}

Para t = 1930:

t' = 1930 - 1860 .:. t' = 70

20 = L/[1 + e^{(λ-70)/α)}] .:. L = 20 + 20e^{(λ-70)/α)} .:. L = 20 + 20e^{λ/α}/e^{2*35/α}  .:. (L-20)/20 = e^{λ/α}/[e^{35/α}]² .:.
(L-20)/20 = [(L-15)/15]/([6L-90]/[5L-90])² --> Resolvendo chega-se em L = 45/2 (omiti as contas..se quiser que mostre elas é só pedir)

e^{35/α} = [6L-90]/[5L-90] .:. e^{35/α} = 2 .:. ln e^{35/α} = ln 2 .:. 35/α = ln 2 .:. a = 35/ln 2

Então:

e^{λ/α } = (L-15)/15  .:. e^{λ/(35/ln2)} = 1/2 .:. ln e^{λ*ln2/35} = ln (1/2) .:. λ*ln2/35 = -ln2 .:. λ*ln2 = -35ln2 .:. λ = -35

Para t = 2010:

t' = 2010 - 1860 .:. t' = 150

*N(t') = k*

k = (45/2)/[1 + e^{(-35-150)/(35/ln2)}] .:. k = (45/2)/[1 + e^{-185ln2/35}] .:. k = 45/[2 + 2^{-185/35 + 1}].:. k = 45/[2 + 2^{-150/35}] .:.
k = 45/[2 + 2^{-30/7}]

Assim, a população é de 45/[2 + 2^{-30/7}] * 10^6

Letra b:

A população tenderá para um valor finito. Quando o tempo tender ao infinito, a expressão e^{(λ-t')/α} tenderá a 0. Assim:

k = L/(1 + 0) .:. k = 45/2

População: (45/2) * 10^6

Acho que é isso. Ainda não estudei limite.

Caramba....questãozinha daquelas, Medock.

Abraços,
Pedro

Nossa!! Muito obrigado de verdade, meus parabéns! Tentei fazer essa questão tem uma semana e nada! Obrigado!

Valeu,