Teorema dos Restos

por Caramelo Qua 25 Dez 2013, 22:59

Se b1 e b2 deixam restos r1 e r2 na divisão por a, respectivamente, prove então que b1 x b2 deixa o mesmo resto que r1 x r2 na divisão por a .. Me embolei um pouco nessa demonstração. Alguém se habilita ?

por **Robson Jr.** Qui 26 Dez 2013, 00:43

Temos:

$\\ b_1(x)=q_1(x).a(x)+r_1(x) \\ b_2(x)=q_2(x).a(x)+r_2(x)$

Multiplicando as duas relações:

$\\ b_1(x).b_2(x)=a(x)\left [ q_1(x)q_2(x)a(x)+q_1(x)r_2(x)+q_2(x)r_1(x) \right ]+r_1(x)r_2(x)$

Como tudo entre colchetes é múltiplo de a(x):

$b_1(x).b_2(x)\equiv r_1(x).r_2(x) \ (mod \ a(x))$

O que conclui a demonstração.

Caso você não conheça a notação de congruência, basta escrever r1(x)r2(x) como segue:

$r_1(x)r_2(x)=a(x)q_3(x)+z(x)$

, onde que z(x) é o resto da divisão de r1(x)r2(x) por a(x). Dessa forma:

$\small b_1(x)b_2(x)=a(x)[q_1(x)q_2(x)a(x)+q_1(x)r_2(x)+q_2(x)r_1(x)]+a(x)q_3(x)+z(x) \\ \therefore \ \ b_1(x)b_2(x)=a(x)[q_1(x)q_2(x)a(x)+q_1(x)r_2(x)+q_2(x)r_1(x)+q_3(x)]+z(x) \\$

Ficando claro que b1(x)b2(x) deixa o mesmo resto z(x) que r1(x)r2(x), como queríamos demonstrar.

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