A Estrela de Agnesi
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A Estrela de Agnesi
por Dela Corte Sáb 12 Out 2013, 16:05
Considere a função
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Determine a área no plano cartesiano dada entre
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Determine a área no plano cartesiano dada entre
- Definições:
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Dela Corte- Recebeu o sabre de luz
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Re: A Estrela de Agnesi
por Elcioschin Sáb 12 Out 2013, 19:49
A função f(x) = 1/(1 + x²):
a) É simétrica em relação ao eixo Y
b) Tem gráfico passando por (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/5) e é assintótica em relação ao eixo x
Área entre f(x) e o eixo x desde x = -∞até x = +∞
S = ∫[1/(1 + x²)]dx ----> S = arctgx nos limites indicados
A área entre f(x) e - f(x) vale 2S
Inversa
y = 1/(1 + x²) ----> x = 1/(1 + y²) ----> 1 + y² = 1/x ----> y² = (1 - x)/x ----> y = √[(1 - x)/x]
O gráfico de f-¹(x) existe somente no intervalo ]0, 1], no 1º quadrante e o gráfico de - f-¹(x) no 4º quadrante
Os dois gráficos juntos de f-¹(x) e - f-¹(x) resultam numa rotação de 90º no sentido horário de f(x)
Tente completar
a) É simétrica em relação ao eixo Y
b) Tem gráfico passando por (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/5) e é assintótica em relação ao eixo x
Área entre f(x) e o eixo x desde x = -∞até x = +∞
S = ∫[1/(1 + x²)]dx ----> S = arctgx nos limites indicados
A área entre f(x) e - f(x) vale 2S
Inversa
y = 1/(1 + x²) ----> x = 1/(1 + y²) ----> 1 + y² = 1/x ----> y² = (1 - x)/x ----> y = √[(1 - x)/x]
O gráfico de f-¹(x) existe somente no intervalo ]0, 1], no 1º quadrante e o gráfico de - f-¹(x) no 4º quadrante
Os dois gráficos juntos de f-¹(x) e - f-¹(x) resultam numa rotação de 90º no sentido horário de f(x)
Tente completar
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: A Estrela de Agnesi
por Dela Corte Dom 13 Out 2013, 13:05
Muito obrigado, Mestre, porém gostaria de solicitar a você ou a outro amigo de fórum que prossiga com a resolução, já que [eu] não possuo conhecimentos em Cálculo.
Mil perdões.
Mil perdões.
Dela Corte- Recebeu o sabre de luz
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Re: A Estrela de Agnesi
por Elcioschin Dom 13 Out 2013, 21:07
Dela Corte
Eu cometi um pequeno engano: pensei que f-¹(x) fosse a função inversa de f(x).
Depois é que eu ví a definição ----> f-¹(x ) = 1/(1 + y²)
f-¹(x ) = 1/[1 + 1/(1 + 1/x²)²] = (x^4 + 2.x^2 + 1)/(x^4 + 2.x^2 + 2)
DE qualquer modo, desenhei os gráficos de f(x), - f(x) (em verde) e f-¹(x)e - f-¹(x) (em vermelho)
Seria necessário calcular os dois pontos de contato entre os dois gráficos, igualando as funções. Depois basta integrar as 4 funções entre estes limites de integração. É um cálculo trabalhoso
A área procurada é a área entre os gráficos. Sem conhecer cálculo integral ficaria muito difícil entender a solução
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Eu cometi um pequeno engano: pensei que f-¹(x) fosse a função inversa de f(x).
Depois é que eu ví a definição ----> f-¹(x ) = 1/(1 + y²)
f-¹(x ) = 1/[1 + 1/(1 + 1/x²)²] = (x^4 + 2.x^2 + 1)/(x^4 + 2.x^2 + 2)
DE qualquer modo, desenhei os gráficos de f(x), - f(x) (em verde) e f-¹(x)e - f-¹(x) (em vermelho)
Seria necessário calcular os dois pontos de contato entre os dois gráficos, igualando as funções. Depois basta integrar as 4 funções entre estes limites de integração. É um cálculo trabalhoso
A área procurada é a área entre os gráficos. Sem conhecer cálculo integral ficaria muito difícil entender a solução
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Elcioschin- Grande Mestre
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