Valor da soma

Qual o valor da soma:



Como ele chego na segunda passagem (indicada em vermelho)?

Tive uma ideia para resolver essa soma!  e desculpa por nao responder sua pergunta, nao sei responde-la, mas acho interessante colocar minha forma de fazer essa soma...
queremos o somatório de k³ + 3k² + 2k onde k vai de 1 a 50
podemos dizer q queremos o somatório de:
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ...
+
3 ( 1² + 2² + 3² + ...)
+
2( 1 + 2 + 3 + 4 + ...)
 para calcular 1 + 2 + 3.. uso  a fórmula de soma de P.A.
temos então (1 + 50)50/2 = 1275
Para fazer a soma de 1² + 2² + ..., eu ja havia visto uma forma de calcular esse tipo de soma antes, então fiz :
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3b²a + b³
(a+b)³ - b³ = 3a²b + 3b²a + a³
substituindo a por 1, temos
(1+b)³ - b³ = 3b² + 3b + 1
De forma que, farei diversas equações dessa fórmula, substituindo b por valore progressivos de 1,2,3..
(1+1)³ - 1³ = 3.1² + 3.1 + 1
(1+2)³ - 2³ = 3.2² + 3.2 + 1                       + (somando todas equações)
(1+3)³ - 3³ = 3.3² + 3.3 + 1
...
(1+49)³ - 49³ = 3.49² + 3.49 + 1
(1+50)³ - 50³ = 3.50² + 3.50 + 1
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vários termos ao cubo se cortam, sobrando:
-1 + 51³ = 3 ( 1² + 2² + ... + 50²) + 3(1 + 2 +3 +4 +..+50) + 50
sendo 1² + 2² + 3² + ... + 50² nossa soma S procurada, vem:
51³ - 1 - 3 (50 + 1)(50)/2 - 50 = 3.S
51³ - 3(51)(50)/2 - 51 = 3.S
51 ( 51² - 75 - 1)/3 = S
17 ( 2601 - 76) = S = 42925 (corrijam se houve erro matemático)

para calcular, então, a soma 1³ + 2³ + 3³ + .. pensei em usar um método semelhante. podemos dizer q para o caso 1² + 2² + 3² + .. + n² = (n+1)(n + 1/2)n/3 , basta substituir 50 por n na fórmula da soma anterior q calculei.
desse modo, podemos fazer:
(1 + 1 )^4 - 1^4 = 1 + 4.1 + 6.1² + 4.1³
(1+2)^4 -2^4 = 1+ 4.2 + 6.2² + 4.2³
..
novamente somando todas as equações obteremos um valor para a soma dos numeros elevados ao cubo. e assim  substituiremos as somas encontradas na fórmula achada de inicio, e dai, encontra-se a resposa... é uma ideia de como fazer xD

Ah sim! quanto à passagem em vermelho.. acho q dá pra sair assim:
(k)(k+1)(k+2) = (k+2)!/(k-1)!.. chamando k + 2 de a, temos
a!/(a-3)!, para que cheguemos a alguma formula de combinação a partir dessa equação em função de a, temos q obedecer à fórmula geral: C k,p = k!/p!(k-p)!
considerando a expressão a!/(a-3)!, somente restaria o 3! no divisor para obtermos uma combinação. Dessa forma :
(3!/3!) x (a!/(a-3)!) = 3! x a!/(a-3)!3! = 3! x C a,3, e sendo a = k+2, vem
3! x C k+2,3 = (k)(k+1)(k+2)

Excelente solução georgito, obrigado.