geometria analitica

Dados os pontos A = (0;0) e B = (2;4), determine as coordenadas do ponto (C) tal que o triângulo
ABC seja isósceles de vértice (C) e tenha área 2.

- marque os pontos A e B no plano coordenado.

- encontre o ponto médio do segmento AB

xM = 1 e yM = 2 -> M( 1, 2 )

- determine a reta (r) que passa por A e B:

y = 2x

- determine a reta (s) que é perpendicular a (r) e passa por M:

y = ( - 1/2 )x + ( 5/2 )


- vértices do triângulo -> ( 0, 0 ) , ( 2, 4 ) e ( xC , yC )

- sendo a área igual a 2, temos:


................| 0......0.......1|
2 = (1/2)*|| 2......4.......1 ||
................| xC...yC......1 |

4 =| ( 0 + 0 + 2*yC - 4*xC - 0 - 0 ) | -> 4 = | 2*yC - 4*xC |

2*yC - 4*xC = - 4

ou

2*yC - 4*xC = 4


-para 2*yC - 4*xC = - 4 -> xC = 9/5 -> yC = 8/5 ) -> C( 9/5 , 8/5 )

- para 2*yC - 4*xC = 4 -> xC = 1/5 -> yC = 12/5 ) -> C'( 1/5 , 12/5 )

Confira com gabarito.

jose carlos nao entendi a parte -para 2*yC - 4*xC = - 4 -> xC = 9/5 -> yC = 8/5 ) -> C( 9/5 , 8/5 )

- para 2*yC - 4*xC = 4 -> xC = 1/5 -> yC = 12/5 ) -> C'( 1/5 , 12/5 )
  
quando voce achou os possiveis valores do ponto C( 9/5 , 8/5 ) e C'( 1/5 , 12/5 )
  nessa parte eu  fiquei confuso  o resto acima eu entendi

Olá emersons,

no desenvolvimento cheguei a:

4 =| ( 0 + 0 + 2*yC - 4*xC - 0 - 0 ) | -> 4 = | 2*yC - 4*xC |

mas:

| 2*yC - 4*xC | = 4

isto é:

( 2*yC - 4*xC ) = - 4

ou

( 2*yC - 4*xC ) = 4


- para ( 2*yC - 4*xC ) = - 4

2*yC = 4*xC - 4 -> yC = 2*xC - 2

esta é uma relação entre as coordenadas do ponto C.

Como sabemos que o ponto C pertence à reta y = ( - 1/2 )x + ( 5/2 ), basta substituir

o valor de yC em função de xC na equação.

2*xC - 2 = ( -1/2 )xC + ( 5/2 )

achadoxC basta substituir novamente na equação e achar yC

de modo análogo:

para ( 2*yC - 4*xC ) = 4


Esperotersanadosua dúvida, qualquer coisa escreva.

Não entendi como encontraram a reta r e s.Foi usada a fórmula de produto interno para encontrar os valores de xc e yc?

juarez

Equação da reta que passa por um ponto P(xP, yP): y - yP = m.(x - xP) ----> m é o coeficiente angular da reta 

Duas retas perpendiculares ----> m.m' = -1

obs, se y=2x
mr = 2,
mr . ms = -1
2 . ms = -1 
ms = -1/2

..

y - y0 = ms ( x - x0)
y - 4 = -1/2 ( x -2)
y - 4 = -1/2x + 1
y = -1/2x + 5

e nao 5/2 ... oq mudaria a resposta da questao '-' ...

nathiinc

Você cometeu um engano nas coordenadas do ponto médio M de AB: M(xo, yo)


ms = - 1/2

Ponto médio M de AB ----> M(1, 2)

y - y0 = ms ( x - x0)
y - 2 = -1/2 ( x -1)
y - 2 = -1/2x + 1
y = - 1/2x + 5/2

ahh sim! obrigada mestre