Cálculo Vetorial

Falae gente, blz!?

Deem uma breve olhada nas definições em edp com relação a x, y, z, r, p, θ, φ e δ do operador nabla aplicado às funções de campo...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nabla

quando o laplaciano, por exemplo, está definido no sistema cartesiano, tem-se ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² , mas quando está definido no sistema esférico ou cilíndrico, então a definição fica bem mais cabulosa...

Em vez de ter que decorá-las, eu gostaria de saber como deduzi-las. Poderiam me demonstrar dá onde elas vem!?

Segue estas relações caso possa ajudá-los a me ajudar...


Vlw!

Você deve usar a fórmula de Lame


Acredito que conheça a definição de gradiente e de divergente, em caso afirmativo é só partir escrevendo o operador "Divergente do gradiente" para qualquer dimenção e encontrará a fórmula de lame. Veja os artigos do prof Fleming se tiver dúvidas: http://www.fma.if.usp.br/~fleming/vector/index.html 
http://magnum.ime.uerj.br/~calculo/LivroIII/compl.pdf

Com certeza é disso que você precisa.
Ficou alguma dúvida?

Sim, é disso sim!

Mas eu ainda não entendi; esses assuntos são super detalhísticos...

Ainda tem este trabalho que é mais uma síntese do que você precisa: http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap04.pdf

Lhe recomendo algum livro de física-matemática, Eu particularmente recomendo o Butkov(Editora LTC) no qual cheguei ás funções de Green recentemente. As notas de física matemática da Carmen Lys Ribeiro Braga também ajudam, apesarem de serem sucintas(e sim, isto é um livro). Todos estes tratam da teoria aplicada a resolução de Eqs diferenciais.(Todos são também encontrados na livraria da Física)

Se quiser algo mais aplicado, só na teoria de campos pura.

Mas então, o problema é o seguinte... no espaço existem 3 tipos principais de sistemas de coordenadas, o ortogonal, o polar e o cilíndrico (sem contar os demais tipos especiais), e ainda há a possibilidade das coordenadas angulares estarem fora do convencional.

Quer dizer que vamos ter que ficar criando fórmulas para cada possibilidade de conversão existente? Acho que não... basta relacionar adequadamente todas elas em conjunto (como fiz acima) e daí isolar as variáveis necessárias.

Com essa ideia em mente, pensei que bastasse calcular a relação entre coordenadas ortogonais e polares para os dois planos acima e as demais continhas seriam álgebra simples.

Por exemplo... então dV = dx·dy·dz = dA·dz = p·dp·dα·dz = p·dp·dα·dz = p·r·dα·dr·dγ = p·r·dα·dr·dγ = -p·r·dα·dr·dδ = -p·r·dα·dr·dδ·sen(δ)÷sen(δ) =
-r²·dα·dr·dδ·sen(δ)

Como pode constatar, esta conversão ortogonal para esférica resulta num valor negativo, mas nunca a encontramos em negativo nos livros de cálculo. Mas de todo jeito que eu tento fazer esta transformação de modo passo-a-passo, calculando a variação entre 4 variáveis, ou somente entre 2, por vez (sim através do jacobiano), mas nunca todas as 6 de uma única só vez, resulta nessa fórmula algébrica com negativo.

Por exemplo... dγ/dδ = d[π-γ]/dδ = -1

:X

não devemos ficar decorando nada mesmo. A linha é mais ou menos esta que você usou. A fórmula de lame, por exemplo, é escrita em função dos vetores de base, das derivadas e dos Hs que são os coeficientes que você procura, que evidentemente nunca são negativos.

A fórmula para o gradiente é:




Claro que isto é tirado do jacobiano e não há motivos para fazer de outra forma, há??