l África do Sul - 2000 l

por philipeph Sáb Jun 08 2013, 03:15

ABC é um triângulo retângulo com D, E e F sendo os pontos médios dos lados indicados. Se CD = 2 então AE² + BF² vale :

a. 12
b . 5
c . 15
d . 20
e. 25

por **raimundo pereira** Sáb Jun 08 2013, 16:44

Qual a posição as posições de D, E e F em relação aos lados? O triângulo é retângulo em Â ?

por philipeph Sáb Jun 08 2013, 17:23

Indicações :

Ponto D ~ Lado AB
Ponto F ~ Lado AC
Ponto E ~ Lado BC

Triângulo retângulo em C.

por **Elcioschin** Sáb Jun 08 2013, 18:10

Sejam AC = b, BC = a, AB = c

CF = b/2 ----> CE = a/2 ----> AD = BD = c/2

CD = 2 ----> CD é a mediana relativa à hipotenusa ----> AB = CD ----> c/2 = 2 ----> c = 4

AE² + BF² = [AC² + CE²] + [BC² + CF²] = [b² + (a/2)²] + [a² + (b/2)²] = (b² + a²/4) + (a² + b²/4) =

3a²/4 + 3b²/4 = (3/4).(a² + b²) = (3/4).c² = (3/4).4² = 12