Geometria

ABC na figura abaixo é um triângulo equilátero de área igual a "S" . P é um ponto qualquer no interior do triângulo e por ele foram traçadas paralelas aos lados do mesmo . Calcular , em função das áreas S1 , S2 e S3 , a área do triângulo ABC .

Spoiler:

Questão interessante.

Na verdade, os triângulos nem precisavam ser equiláteros para resolver.

Resolução:

Sejam D e E os pontos onde os lados do triângulo de área S1 tocam no lado AB, I e H os pontos onde os lados do triângulo de área S2 tocam no lado AC e F e G os pontos onde os lados do triângulo de área S3 tocam no lado BC, tem-se que:

DG || AC, IF || AB e EH || BC => ∆DEP ~ ∆PFG ~ ∆IPH ~ ∆ABC, pois se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intersecta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ele determina é semelhante ao primeiro.

Assim: S1/S = (EP/BC)², S2/S = (PH/BC)² e S3/S = (FG/BC)², pois a razão entre a área de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Portanto: (S1/S)^(1/2) + (S2/S)^(1/2) + (S3/S)^(1/2) =
= (EP + PH + FG)/BC = BC/BC = 1 => S = (VS1 + VS2 + VS3)²

Ótima solução JOAO , obrigado .