Álgebra

por 2k3d Seg 29 Abr 2013, 21:18

Existe um único par de números positivos x e y que satisfazem a equação x² + 84x + 2008 = y² . O valor de x + y é :

a) 108
b) 96
c) 84
d) 80
e) 72

OBS : Não sei a reposta.

por **Robson Jr.** Seg 29 Abr 2013, 22:44

$\small x^2+84x+1764=y^2-244 \\ \Rightarrow \ (x+42)^2=y^2-244 \\ \Rightarrow \ 244=y^2-(x+42)^2 \\ \Rightarrow \ 244=(y-(x+42))(y+(x+42))$

Temos que 244 = 4.61 e que (y+(x+42)) é maior que (y-(x+42)). Logo, são candidatos a solução:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} y+(x+42)=244\\ y-(x+42)=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow y \notin \mathbb{Z} \\\\ \left\{\begin{matrix} y+(x+42)=122\\ y-(x+42)=2 \end{matrix}\right. \Rightarrow y=62 \text{ e }x=18 \\\\ \left\{\begin{matrix} y+(x+42)=61\\ y-(x+42)=4 \end{matrix}\right. \Rightarrow y \notin \mathbb{Z}$

Portanto:

$\small \boxed{x+y=80}$

por 2k3d Seg 29 Abr 2013, 22:50

Entendi , valeu robson .

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