Relações

Usando a definição de par ordenado que (a;b) = {{a};{a;b}}, prove que: se (a;b) = (c;d), então a = c e b = d.
Poderiam me explicar de forma melhor essa definição e como se usaria ela para resolver o que se pede?

Não creio que isso seja assunto do Ensino Médio !

Mas... Vamos Lá !

Duas hipóteses:

Se a = b:

(a, b)_K = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, a}} = {{a}}.

(c, d)_K = {{c}, {c, d}} = {{a}}.

Então {c} = {c, d} = {a}, o que implica a = c e a = d.

Por hipótese, a = b. Logo b = d.

Se a ≠ b:

Então (a, b)_K = (c, d)_K implica {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

Supondo-se {c, d} = {a}.

Então c = d = a, e também:

{{c}, {c, d}} = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}.

Mas então {{a}, {a, b}} seria também igual a {{a}}.

Então b = a, o que contradiz a ≠ b.

Supondo-se {c} = {a, b}.

Então a = b = c, que contradiz a ≠ b.

Então {c} = {a}, então c = a e {c, d} = {a, b}.

Se d = a, então {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}, uma contradição.

Então d = b , e a = c e b = d ■

Essa relação está no primeiro livro do Aref D:
Eu não consegui entender o que significa (a;b) = {{a};{a;b}}.

Kazimierz Kuratowski foi o matemático polonês que formulou esta definição. O seu intuito era incluir a noção de ORDEM na Teoria dos Conjuntos, a qual, nos idos de 1920, ainda era incipiente e controversa.

Se você for curioso, como parece ser, já deve ter estranhado isso:

{ a; b } = { b; a}

Ou isso:

{a; a; a } = { a }

E mais isso:

{ a; a; a; b; a; b; b } = { a; b } = { b; a }

Nas idas e vindas e voltas e revoltas das mentes dos seres pensantes a noção de "igual" sempre foi e será conflitante e passível de discussão.

A Teoria dos Conjuntos nasceu repleta de paradoxos e foi sendo lapidada pelo matemáticos e filósofos.

E ainda tem paradoxos...

Normal.

As noções de pertinência, de classes, de categorias sempre vão se chocar quando existir recursividade.

E sempre existe, existe e existirá a recursividade.

É a própria essência do Universo.

Tanto o físico quanto o metafísico.

O elemento, por si só pode ser um conjunto. E vice-versa.

Um conjunto pode ser sub-conjunto de outro.

Uma categoria pode ser sub-categoria, uma classe idem.

O vazio, o "nada", o Universo, o "tudo" .

As classificações, as categorizações, as noções de agrupamento por similaridades fazem parte da nossa essência.

Eles sempre serão motivo de indagações interminavelmente recursivas.

Os humanos pragmáticos dão um basta a esse "sem-fim" e fazem regras.

Os Axiomas ou Postulados ou Princípios ou Definições das Teorias.

Seria o equivalente a responder a um menino chato, que cisma em perguntar o porquê das coisas, os porquês dos porquês, deixando o pai tão nervoso que, para terminar a conversa infindável, grita:

"É assim porque eu digo que é assim ! Ponto Final !"

Atualmente, para o Ensino Médio, usamos a definição da Teoria das Categorias, para fugir da recursividade da teoria dos Conjuntos, que, apesar de definir sinteticamente, sempre vai dar nós nas mentes humanas...

As noções intuitivas de "funções", "aplicações" implícitas na Teoria dos Conjuntos são explicitadas.

Define-se Produto Cartesiano como a função (operação) que:

Dados os conjuntos A, B, ..., N :

A x B x C x ... x N = { (a; b; c; ...;n) | a∈A, b∈B, ..., n∈N }

Assim, A x B é um conjunto de duplas ou pares ordenados, onde o primeiro elemento, da esquerda para a direita, pertence a A e o segundo a B: (a; b).

Essa definição é suficiente e é a necessária para o Ensino Médio.

A tal notação (a; b) = { {a}; {a; b} } é uma notação sintética que nos diz exatamente isso, onde "a" e "b" podem ser elementos ou conjuntos (se é que existe diferença entre eles...).

Quando for A x B x C teremos uma tripla ou trinca ou uma '3-tupla' ou '3-upla'.

Pela notação de Kuratowski :(a; b; c) = (a; (b; c) )

Quando houver "n" conjuntos, teremos uma 'n-tupla' ou 'n-upla' (ênupla) ou vetor 'n-dimensional'.

Note que, para o EM, letras minúsculas são ELEMENTOS e maiúsculas são CONJUNTOS !!! Não se confunda !

Caso você se interesse mais pelo assunto, baixe esse PDF (em inglês):

Elementary Set Theory with a Universal Set

Obrigado pela resposta tão explicativa amigo! Esclareceu muito de minhas dúvidas.
Acho que preciso adquirir um pouco mais de conhecimento para ler um livro desses...
Mas obrigado, tentarei fazer uma questão deste tipo, e qualquer coisa eu posto aqui minha dúvida.

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