Indução matemática

por GILSON TELES ROCHA Qui 05 Jan 2012, 14:57

Prove por indução 1 + 3 + 5+...+ (2n-3) + (2n-1) = n^2

por Werill Qui 05 Jan 2012, 15:01

n = 1 ---> -1 + 1 = 0²

Admita que é verdadeiro para n = k

1 + 3 + 5 +...+ (2k - 3) + (2k - 1) = k²

Agora você precisa provar que é verdadeiro para n = k + 1.
Antes, preciso lembrar que 2k - 1 = 2(k + 1) - 3, então não podemos repeti-lo.

1 + 3 + 5 +...+ (2k - 3) + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) =

1 + 3 + 5 +...+ (2k - 3) + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) =

k² + (2(k + 1) - 1) =

k² + 2k + 1 = (k + 1)²

por GILSON TELES ROCHA Qui 05 Jan 2012, 15:05

Como assim ?

por **Euclides** Qui 05 Jan 2012, 15:14

Werill escreveu:Eu acho que teria uma condição para isso, que é n pertence aos inteiros, tal que n maior ou igual a 2.

Note que a proposição é válida para n=1 ---> 1=1². P(1) é verdadeira

Se P(n) for verdadeira deseja-se verificar se é verdadeira para n+1

1+3+5+....+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)²

notamos que os termos à esquerda de (2n+1) são iguais a n²

n²+(2n+1)=(n+1)² ---> verdadeira.

por Werill Qui 05 Jan 2012, 15:17

Foi mal, é que eu fui testar e não tinha visto o (2n - 1), editei lá.

Peço sinceras desculpas, não acontecerá novamente (eu espero)...

Se me permitem fazer uma pergunta rápida aqui, por que os livros tem o costume de substituir n por k para provar que (k + 1) é verdadeiro?