questão de geometria

No triângulo ABC, com AB ≠AC, seja I seu incentro. Os pontos P e Q são definidos como os pontos onde o circuncírculo do triângulo BCI intersecta novamente as retas AB e AC, respectivamente. Seja D o ponto de interseção de AI e BC.

a) Prove que P, Q e D são colineares;



b) Sendo T, diferente de P, o ponto de encontro dos circuncírculos dos triângulos PDB e QDC, prove que T está no circuncírculo do triângulo ABC.



Observação: O Incentro de um triângulo é o ponto de interseção de suas bissetrizes internas e o Circuncírculo de um triângulo é a circunferência que passa pelos seus três vértices.

(a)

Sem perda de generalidade, digamos que AC >  AB. Considere B' e C' as reflexões de B e C pela reta AD. Em particular isso implica que B'C' é a reflexão de BC por essa reta. Ou seja, B', C', D são colineares. Além disso, B',C', B, C é cíclico.  Como AD é bissetriz, segue que B' está no segmento AC e C' está no prolongamento de AB. Vamos verificar que B' = Q e C' = P.

Para isso, basta notarmos que B, B', I, C é cíclico. De fato, sejam 2a, 2b, 2c os angulos do triangulo ABC. Como BB'A é isosceles, segue que ∡ABB' = ∡AB'B = b+c. Como ∡ABI = b, concluímos que ∡IBB' = c. Já que AD é mediatriz de BB' temos IBB' isósceles, e disso ∡IBB' = ∡IB'B = c. Como ∡BCI =c concluímos que B,B',I,C é cíclico. Portanto Q = B'. Como B,B',C,C' é ciclico temos também P = C'. Já que B',C',D são colineares, concluímos que P,D,Q são colineares

(b)
Primeiro notamos que T é o centro da circunferencia passando por B,C,P,Q,I. De fato, a reflexão de PDB por AD é QDC. Isso implica que T está sobre a reta AD, e portanto TB = TQ, TC = TP.
Além disso, o triângulo BCT é isosceles já que ∡CBT = ∡DBT = ∡DPT (usando  B,D,T,P ciclico) = ∡DCT (usando reflexao) = ∡BCT. Daí TB = TC. Portanto segue o afirmado.


Sendo x a medida do angulo ∡BCT = ∡CBT (já que TB = TC = raio) notamos que

∡BIT = b+x
∡CIT = c+x

Pois BIT e CIT são triangulos isosceles. Por outro lado, BIT mede 2a+b+c. Isso implica que x  = a. Logo, ∡BTC = 180° -a. Portanto, ∡ BAC + ∡ BTC = 180°. Daí A,B,C,T é cíclico.

A figura da primeira parte do item (b) (mostrar que T é centro da circunferencia por B,C,P,Q,I)