matemática - função

Primeiro vamos achar f(x). Para [latex]x \geq 1[/latex]:


[latex]f(g(x)) = 4x^2-6x-1[/latex]





Temos que [latex]g^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{2}[/latex] e que [latex]f(g(g^{-1}(x))) =f(x)[/latex]. Substituindo:


[latex]\begin{align*} f(x) &= 4\cdot\left(\dfrac{x+3}{2} \right )^2-6\cdot\left(\dfrac{x+3}{2} \right )-1\\~\\ &=x^2+6x+9-3x-9-1\\~\\ &=x^2+3x-1 \end{align*}[/latex]



Para  [latex]x < 1[/latex]:


[latex]f(g(x)) = 4x+3[/latex]


Substituindo:


[latex]\begin{align*} f(x) &= 4\cdot\left( \dfrac{x+3}{2}\right )+3 \\~\\ &= 2x+9\end{align*}[/latex]

Agora vamos analisar as afirmações:

I. f(x) = f(-x) para todo x? Testando para x = 1:

[latex]f(-1) = 7\text{ e }f(1) = 3[/latex]


Afirmativa I não vale.


II. Para uma função admitir inversa ela deve ser bijetiva. Não achei um jeito de provar isso por enquanto. Vou deixar para a próxima pessoa  .

III.   f(x) é crescente em { x  | x < -1}, pois 2x+9 é crescente.

{x   |x ≥ -1} é crescente até x = 1 pois 2x+9 é crescente. Para x>=1, devemos verificar se [latex]x^2+3x-1[/latex] é crescente. Basta olhar o vértice: [latex]V_x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2} = -1.5[/latex]. [latex]x^2+3x-1[/latex] é crescente para x > -1.5, portanto é crescente para x>=1.


III verdadeira.




IV. Verificando para f(-7): [latex]f(-7) = 2\cdot(-7)+9 = -14+9 = -5[/latex]. Falso.


Tá aí  .