Eletromagnetismo - Prob. 5.1 - FISICA3A-CEDERJ-VL.1

Considere uma distribuição volumar uniforme de carga ρ (medida em coulombs/metro3). Esta distribuição está confinada no eixo OZ entre −a ≤ z ≤ a, mas não está confinada nos eixos OX e OY . Em outros dizeres, temos uma distribuição planar com espessura 2a. Use a Lei de Gauss e obtenha o campo dentro e fora da distribuição. 

Valor esperado dentro da distribuição:




As demais componentes do campo elétrico devem ser nulas. Faça o gráfico dessa função. Para obter o limite da distribuição com a simetria do plano, mas com espessura nula, estude o seguinte limite: lim ρ→∞,a→0 = σ, onde σ é uma densidade superficial uniforme de carga.

Fala, AyD.
Então, basta aplicar a lei de Gauss vista a situação de simetria que o plano infinito nos dá. Recorde que o campo elétrico é radial pois as componentes verticais se cancelam e que ele tem módulo constante dado uma distância fixa ao eixo.
Exterior:

[latex]\oint \vec{E}.d \vec{A} = \frac{q}{\epsilon_0}[/latex]
Isso vira:

[latex]E.A = \frac{q}{\epsilon_0}[/latex]

Mas:
[latex]\rho = \frac{Q}{V} -> q = \rho.\pi.r^2.2a[/latex]

[latex]E.\pi.r^2.2 = \frac{\rho.\pi.r^2.2a}{\epsilon_0}[/latex]

[latex]E = \frac{\rho.a}{\epsilon_0}[/latex]

Diverge do gabarito, eu particularmente não encontrei erro nos cálculos. Se vir algo me avise que eu corrijo.

Interior:

[latex]q = \rho.\pi.r^2.2z[/latex]

[latex]E.A = E.2.\pi.r^2 = \frac{\rho.\pi.r^2.2z}{\epsilon_0}[/latex]
[latex]E = \frac{\rho}{\epsilon_0}.z[/latex]

Gráficos:

Quando a espessura é nula, há apenas o campo exterior:
[latex]E = \lim_{a \rightarrow0,\rho \rightarrow \infty}\frac{\rho}{\epsilon_0}.a = \frac{\sigma}{\epsilon_0}[/latex]
O que não converge para a fórmula original do plano com espessura desprezível, [latex]E = \frac{\sigma}{2.\epsilon_0}[/latex]


Para não largar o tópico assim, também como não sei deduzir o limite: lim ρ→∞,a→0 = σ.
Proponho outra solução:

[latex]\rho = \frac{q}{V}, \sigma = \frac{q}{A}[/latex]

Vou considerar que o plano fino contém toda carga do plano espesso:
[latex]\rho.V = \sigma.A[/latex]
[latex]\sigma = \frac{\rho.V}{A} = \rho.2a[/latex]

Ao substituir isso na equação do plano espesso, encontramos a resposta para o campo fino. Então acredito que na verdade:
lim ρ→∞,2a→0 = σ.

O que vocês acham?